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BEPPO LEVI 



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infatti la ±x{ab) in è e sia r. Pr ribalta x{ab) intorno al cardine ab; quindi a è fisso 

 per p, e non aderente ad alcun jjunto di r. Sia ora c un punto del piano non ade- 

 rente ad a: Pr ribalta x{ac) intorno ad a (10 t. 10): quindi tien fisso c: ma non pos- 

 sono esistere altri punti del piano fissi per p, che a e i punti di r (10 t. 5); dunque 

 c appartiene ad r. 



La retta r è determinata come congiungente due punti qualunque del piano, non 

 aderenti ad a; dunque " se due punti di una retta non sono aderenti ad un terzo 

 " punto, tutta la retta non è aderente a questo punto „. 



TV. 8^ — "Se un punto a ha in un piano per esso una retta non aderente, una 

 " semirotazione intorno ad a coincide con un ribaltamento intorno a questa retta. 

 " All'infuori di questa retta la semirotazione non può convertire in se stesse altre 

 " rette che quelle per a „. La semirotazione ribalta intorno ad a le rette che con- 

 giungono a coi punti della retta considerata; poiché essi non sono aderenti ad a, 

 restano fissi per la semirotazione. Se poi una retta è convertita in se stessa dalla 

 semirotazione, non può esser retta di punti fissi se è aderente ad a, e allora, perchè 

 due punti corrispondenti sono allineati con a, deve passare per a. 



Tenendo conto del teor. 5 del n° prec. si avrà che 



Tr. 9. — " Non esistono in un piano due punti non aderenti ad una stessa 

 ' retta „. 



Tr. 10. — " Se una congruenza converte in se stesso un piano e scambia due 

 " suoi punti fra loro coerenti è un ribaltamento od una semirotazione del piano „. 

 Siano infatti a e a' i due punti coerenti che la congruenza scambia, e mea\a'. Si 

 chiami \x la congruenza; essa terrà fermo m. Se ora si sapesse che la trasformazione 

 del piano è involutoria, la proposizione sarebbe evidente, perchè, se c e c' sono due 

 punti corrispondenti aderenti ad m, la r(cc') si trasformerebbe in se stessa. Allora: 

 i(cc') passa per m e subisce il ribaltamento intorno ad m, nel qual caso si avrebbe 

 la semirotazione intorno ad m (t. 3) ; — ovvero r(cc') non passa per m e si avrebbe 

 il ribaltamento intorno alla ±x{cc') per m (10 t. 14). Si noti che questa retta sa- 

 rebbe xx{aa') in m. 



Si supponga dunque che, se possibile, la trasformazione del piano non sia invo- 

 lutoria. Allora iLi^ tien fissa x{aa') e non è l'identità; quindi ji^ — p„„.. Si ponga ^ic = c', 

 ne' Paa'C = d, Waa-c = M^c = p„„'|Lic z= ^id = pa„,c' = d' (sarà }id' = fi2p„„,c = p^-c = c); 

 e si consideri il piano come p{cc'd). (Si osservi che a tre a tre i punti considerati non 

 saranno allineati; se lo fossero, p. es. cc'd, sarebbe \xx{cc'd) = x{c'dd'), e cioè sulla 

 stessa retta starebbe d'; la retta x{cd) sarebbe convertita in se stessa da |u, e l'esi- 

 stenza di una tal retta fu il solo fatto che nelle linee precedenti si applicò, nell'ipo- 

 tesi dell' involutorietà della corrispondenza). Almeno una delle coppie di rette r(cc') 

 x{dd'), x{cd) x{c'd'), x{c'd) x{cd'), dovrà risultare di rette concorrenti: — Concorrano 

 anzitutto le rette r(cc'), x{dd'): si ha Paa'V(cc') = x{dd'): il punto di concorso è dunque 

 fisso per Paa' ; inoltre lar(cc') = x{c'd), \ix{dd') = x{d'c) ; concorrono dunque anche x{c'd), 

 x{cd') ed il loro punto di concorso è pure fisso per Pa„. (perchè p<,„.|a = ^3 = |upaa,). Siano 

 k e k' ì due punti di concorso, che non possono coincidere perchè non sono alli- 

 neati cc'd. Essi dovranno appartenere alla r(aa') (10 t. 5) e sarà ixk — k' jjik' = k 

 onde ck' =c'k, c' k' == d' k' = ck onde cc'k = c'ck'. Ma cc'k sono allineati; dovrebbero 

 quindi esserlo c'ck', cioè dovrebbe essere r(cc') = r(aà'): ora c fu scelto fuori della r(aa'). 



