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FONDAMENTI DELLA METRICA l'IiOJETTlVA 



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— Concorrano invece le x{cd), x{c'd'): esse sono ir(aa'): il loro punto di concorso 

 (sia l) non sarà aderente a r(cia'), e sarà x{lm) ± t{aa') : allora p,„}x = p„„, e ju = p,„p„,. ; 

 )ui sarebbe la semirotazione intorno ad tn (t. 1). 



Coi teoremi dimostrati in questo e nel precedente n° si pongono i fondamenti 

 della teoria dei movimenti nel piano. Però quasi tutti i teoremi del presente n° sono 

 affetti da un elemento ipotetico il quale prende alternativamente la forma dell'esi- 

 stenza della semirotazione intorno a un punto, o di una coppia di rette perpendico- 

 lari in questo punto, appartenenti al piano, o di una coppia di punti non coerenti, 

 semplicemente, nell'ultimo teorema di una trasformazione per congruenza del piano 

 in sè, la quale scambi due punti assegnati. L'esistenza della coppia di rette perpen- 

 dicolari in ogni punto si farà dipendere nel § successivo dai postulati dello spazio: 

 ma l'ultimo teorema mostra come, inversamente, basterebbe ammettere che il piano non 

 sia contenuto in uno spazio maggiore perchè la proposizione divenisse senz'altro dimostrabile. 

 Difatti, in tale ipotesi, ogni congruenza trasformerebbe il piano in sè, e i post. Vili 

 e IX affermano che una coppia qualunque di punti si può invertire mediante una con- 

 gruenza. Sia allora dato nel piano un punto qualunque m e siano a e a' due punti 

 fra loro coerenti e simmetrici rispetto ad m : la congruenza che scambia a e a' sarebbe, 

 secondo il precedente teorema, la semirotazione intorno ad m ovvero il ribaltamento 

 intorno alla ±x{aa') nel punto m. In ogni caso sarebbe stabilita l'esistenza di questa 

 perpendicolare (cfr. t. 2 e 4). 



§ 4. — Lo spazio. 

 Post. XX, — Esiste un punto fuori di un piano. 



I*ost. XXI. — Se due piani hanno a comune un punto, hanno pure a co- 

 mune qualche altro punto. Evidentemente le proposizioni del n° 8 permettono im- 

 mediatamente di dare a questo postulato la forma: Se due piani hanno a comune 

 un punto, hanno pure a comune una retta per esso. 



Il primo postulato enuncia l'esistenza di quattro punti non complanari. Da esso 

 e dai postulati precedenti risulta poi l'esistenza di altri punti : ma del numero o della 

 potenza dell'aggregato dei punti richiesti non intendiamo di occuparci qui. 



12. Rette e piani perpendicolari - Semirotazioni intorno a una retta. — 

 Tr. 1. — " Non esiste alcuna congruenza che tenga fissi quattro punti non compla- 

 ' nari di cui uno sia aderente agli altri tre, spostando qualche altro punto „. Siano 

 infatti ahcd i quattro punti che si suppongono fissi per una congruenza |u; sia d ade- 

 rente agli altri tre punti; la congruenza n dovrà lasciar fissi tutti i punti dei piani 

 p{bcd) p{abd) p{acd) (9 t. 2). Sia ora m un altro punto qualunque ; per m, d e per un 

 punto di p{bcd) non appartenente a x{bd) ne a r(c-^) passa un piano che taglia p{bcd) 

 secondo una retta per d non appartenente ad alcuno degli altri due piani, e uno 

 qualunque di questi secondo un'altra retta per d (XXI). ^ lascia fissi i punti di queste 

 due rette, quindi tutti i punti del piano considerato e fra essi tn. 



Il teorema fu enunciato nella forma che ci sarà utile in seguito: ma all'ipotesi 

 che uno dei punti sia aderente agli altri tre si potrebbe sostituire quella più gene- 



