308 



BEPPO LEVI 



28 



rale che uno dei punti sia aderente a due rimanenti ed il quarto ad uno almeno di 

 questi tre. Se infatti d è aderente ad a e è. la congruenza \x tiene fisso ì?{abd) : se 

 poi c è aderente per es. ad a resterà anche fisso p(cc?a), e ciò basta per la precedente 

 dimostrazione. 



TV. 2. — "Se una congruenza tiene fissi tutti i punti di un piano, è involu- 

 " toria „. — Sia |a la congruenza considerata: tt il piano fisso; sia a un punto spo- 

 stato da |u e sia \xa = a' \ sia m un punto di n non appartenente a r(aa'). Il piano 

 X>{aa'm) taglia n secondo una retta r per m che \x tien fissa. |a ribalta dunqne t)(aa'm) 

 intorno ad r e la corrispondenza fra i punti a e a' è quindi reciproca. 



Sia 11 un punto di tt fuori di r: la retta x[an) non ha comuni con \>{ar) altri 

 punti che a; \xx{an) — x[an) è dunque distinta da x{an) e ogni suo punto diverso da n 

 è mosso da \i. Sia h un tal punto =4= a e sia |iò = 5' ; il piano p(òè'm) è convertito 

 in se stesso da \i- quindi \x ribalta intorno ad m T intersezione (XXI) dei piani j3(aa'm) 

 p(èè'm), la quale è così xr. Per m non passano altre rette che la congruenza ribalti 

 perchè un piano per una tal retta e per un punto qualunque di tt sarebbe ribaltato 

 dalla congruenza, la quale così ribalterebbe pure l'intersezione di questo piano con 

 p(rta'm) ; su p[aa''m) esisterebbero cioè due rette per m e ±r contro il teor. 9 del n° 10. 

 Poiché m è qualunque su tt si potrà dunque enunciare il 



Tr. 3. — " Per ogni punto del piano fisso passerà una retta che dalla supposta 

 " congruenza sarà convertita in se stessa (ribaltata intorno a quel punto). E le rette 

 " di tal proprietà passanti pei punti di una retta del piano fisso apparterranno ad 

 " un piano che la congruenza ribalta intorno a questa retta: in questo piano esse 

 " saranno tutte perpendicolari ad essa „. 



Def. 1. — Un punto si dice aderente ad un piano quando non appartiene al piano 

 ed è aderente a qualche punto del piano ; si dirà anche che il piano è aderente al 

 punto. 



Tr. 4. — "Se una congruenza tien fissi tutti i punti di un piano, sposta ogni 

 " punto aderente al piano e tien fisso ogni punto non aderente al piano medesimo „ . 

 Sia |u la supposta congruenza, tt il piano fisso, a un punto aderente a tt, m un punto 

 di TT aderente ad a, n e p due punti di tt non allineati con m ed aderenti ad m; 

 se la congruenza tenesse fisso a, terrebbe fermi i i punti amnp e quindi ogni altro 

 punto (t. 1). — Sia ora a un punto che si sposti per n e sia |ua = a'. Sia m un 

 punto di TT fuori di r(aa') ; il piano p{aa'm) è ribaltato da ju intorno alla sua inter- 

 sezione con TT; e il punto a sarà aderente a questa retta, poiché se a non le fosse 

 aderente, alla retta non sarebbe aderente nemmeno a'; ora, pel teorema 9 del n. 11, 

 sul piano non possono esistere due punti non aderenti alla medesima retta. Il punto a 

 è dunque aderente a tt. 



Tr. 5. — " Non esistono due diverse congruenze che tengano fissi tutti i punti 

 " di un piano „. Siano |a e v due congruenze che tengano fissi tutti i punti di un 

 piano tt; esse sposteranno tutti i punti aderenti a tt; sia a un punto mobile, }Àa=a', 

 va — a". Se una almeno delle rette r(aa'), x{aa") incontra tt il piano p{aa'a") è ribal- 

 tato dalle due congruenze intorno alla sua intersezione con tt; quindi a' = a". Se le 

 due rette non incontrano tt, sia p un punto qualunque di tt : piaa'p) e p(aa"p) essendo 

 ribaltati rispettivamente dalle due congruenze, i punti a\a'=f, a\a"=g saranno 

 fissi rispettivamente per \x e per v ; non saranno dunque aderenti a tt ft. 4) e saranno 



