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FONDAMENTI DELLA METRICA PROTETTIVA 309 



fissi per entrambe le congruenze. Se f=g, a/,= a'=a"; conformemente alla tesi- 

 1 ipotesi f^hg e assurda: sia infatti m un punto di tt: il piano \>(fgm) segherebbe n 

 secondo una retta cui non sarebbero aderenti due punti, contro il teor. 9 del n" 11 

 Tr. 6. - " Se una congruenza ribalta il piano fisso della congruenza supposta 

 " nei teoremi precedenti intorno ad una sua retta t, o ribalta pure il piano per t di 

 « CUI al teor. 3, ovvero lo tien fisso Sia infatti v la congruenza nominata; v'mv 

 tien fissi 1 punti di tt e non differisce quindi da n (t. 5); una retta che m converta in 

 se stessa è quindi trasformata da v in un'altra retta che m converte in se stessa - e 

 se essa incontra t dovrà dunque esser trasformata in se stessa. Il piano di t e d'una 

 tal retta è dunque convertito in se stesso da v. 



Tr. 7. - " Esiste una congruenza che tien fissa una retta t e ribalta intorno 

 " a ^ due piani passanti per ^ Sia infatti tt un piano per ^; esiste una congruenza v 

 che ribalta tt intorno a t (XVIII); questa congruenza è involutoria su tt (10 t 1)- si 

 può supporre che sia o non involutoria per i punti non appartenenti a tt Nella fe- 

 conda ipotesi tien fisso tt, ma non tutti i punti dello spazio; quindi è la congruenza ^ 

 dei teor' prec'. La prima ipotesi poi può dar luogo a due casi: o che si supponga che v 

 tenga fisso un piano per t, ovvero che sposti ogni piano. 



1° Si supponga dunque l'esistenza di una congruenza che tien fisso un piano tt 

 per f A questo sarà coniugato dal teor. 6 un altro piano per t e un'altra congruenza 

 che lo converte in se stesso, ribaltando tt intorno a t. Se la nuova congruenza non 

 tien fisso quel piano, sarà essa la congruenza affermata nel teorema: se essa lo tien 

 fisso sarà tale il prodotto delle due congruenze. 



2° Non si supponga l'esistenza di una congruenza che tenga fisso un piano per t 

 La congruenza v che ribalta tt intorno a t, dovendo essere involutoria, ribalta ogni 

 piano per t, ed e la congruenza di cui si afferma l'esistenza. 



„ 8- - " La congruenza di cui il teor. prec. afferma l'esistenza è involutoria 



^ Per ogni punto della retta t passa un piano ed uno solo che la congruenza trasforma 

 ^ m se stesso, inducendovi una semirotazione intorno a quel punto. Ogni piano per 

 la retta t subisce il ribaltamento intorno a, t „. 



1° Siano difatti tt e a i due piani per t che si sa essere ribaltati dalla con- 

 gruenza: ,1 quadrato della nostra congruenza li terrà fissi; quindi (t. 4) deve ridursi 

 ali Identità: la congruenza è involutoria. 



2" Sia a un punto arbitrario di ^ e sia m un punto di tt che la congruenza 

 sposti e tale che la ±t per esso non passi per a. Sia m' il trasformato di m e sia n 

 un punto mobile fuori di tt. Il piano piamn) sarà convertito in un piano p(am'n') 

 diverso da (che non passa per - i due piani si tagliano secondo una retta /- 



per a che la congruenza trasforma in se stessa. Per ipotesi J)(«mn) non passa per ^ 

 dunque r=^t; inoltre r non può esser retta di punti fissi per la congruenza, altri- 

 menti sarebbe piano di punti fissi Hrt); per ogni retta di Hn), per es. passerebbe 

 un piano convertito in se stesso dalla congruenza (t. 3) che segherebbe tt e a secondo 

 due rette ribaltate dalla congruenza, per lo stesso punto a, contro il teor. 3. La con- 

 gruenza considerata ribalta dunque r. Parimenti Piantn'}, pian.'n) si segano secondo 

 una retta . per a che la congruenza ribalta, e s^res=^t perchè Pia >„n') ^ p{a„m) 

 e p[amn}=^p{,n't). La congruenza determina dunque una semirotazione in p(rs) 

 intorno ad a (11 t. 3). 



