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BEPPO LEVI 



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3° Ogni piano t per t taglia p{rs) secondo una retta che la congruenza ribalta 

 intorno ad a. La congruenza ribalta dunque t intorno a t. 



4° Nessun piano per a diverso da p{rs) e dai piani per t può essere conver- 

 tito in sè dalla congruenza perchè le intersezioni di un piano per a che la congruenza 

 converta in sè e che non passi per t con p{rt) e con p{st) sono rette per a che la 

 congruenza converte in sè, e non differiscono quindi da r e da s rispettivamente. 



Poiché tutte le congruenze che ribaltano un piano intorno a una sua retta t sono 

 identiche fra loro rispetto alla trasformazione del piano, la congruenza studiata nei 

 teor' 7 ed 8 è completamente definita dalla retta fissa t. Ha quindi luogo ad esser 

 stabilita la seguente 



Def. 2. — La congruenza che ribalta ogni piano per t intorno a t si dirà semi- 

 rotazione intorno a t. ^ si dirà l'asse di rotazione. 



Tr. 9. — "In ogni piano ed in ogni punto di ogni sua retta esiste la perpen- 

 " dicolare a questa retta medesima „. È l'intersezione del piano dato con quello su 

 cui la semirotazione intorno alla retta data determina la semirotazione attorno al 

 punto dato. 



Tr. 10. — "Se esiste un punto non aderente a una retta t, esiste tutta una 

 " retta di punti non aderenti a t. Essa resta fissa per la semirotazione intorno a t 

 " e fuori di essa non esistono altri punti non aderenti a ^ „. Se A è un punto non 

 aderente a t, la semirotazione, ribaltando intorno a ^ il piano p{ht), tien fisso h (11 1. 8); 

 le J-t in questo piano passano per h (10 t. 10); per h passa quindi ogni piano su cui 

 la semirotazione intorno a t determina una semirotazione. L'intersezione di due di 

 questi piani è una retta per h, e sopra ciascuno di questi piani è convertita in sè 

 dalla semirotazione senza passare pel punto fisso di questa. Essa è dunque retta di 

 punti fissi e non è aderente a detto punto (11 t. 8) e non è aderente ad alcun 

 punto di t perchè ogni piano per essa e per un punto qualunque di t subisce la semi- 

 rotazione intorno a questo punto. — Se fuori di questa retta esistesse un punto 

 non aderente a t, esisterebbe al pari una retta per esso tutta di punti non aderenti a t 

 e per ogni punto di t passerebbero due piani (l'uno per l'una, l'altro per l'altra retta) 

 non passanti per t e convertiti in sè dalla congruenza, contro il teor. 8. 



Tr. 11. — " Per ogni punto aderente a t passa uno e un sol piano non conte- 

 * nente t, che la semirotazione intorno a t converte in se stesso „. Sia a un punto 

 aderente a ^: in p[at) sia r la ±i per a: se essa incontra t in un punto m, il piano 

 di cui si afferma l'esistenza è quello per m su cui la congruenza induce la semiro- 

 tazione intorno ad m. Se r non incontra t, contiene un punto h non aderente a t ; 

 per h passa una rettaci di punti fissi per la congruenza; p(a^i) è il piano di cui si 

 afferma l'esistenza: esso subisce il ribaltamento intorno a t^. La semirotazione intorno 

 a t coincide allora colla semirotazione intorno a t^. — Un altro piano per a che la semi- 

 rotazione converta in se stesso sega il precedente secondo una retta che la congruenza 

 trasforma in sè, cioè secondo la r ; esso passa quindi per m o pel punto che r ha su 

 e non può perciò (t. 8-4°) differire da p{at). 



Def. 3. — Il piano unico che passa per un punto a aderente a i( od appartenente 

 afe che, senza passare per t, è convertito in sè dalla semirotazione intorno a f si 

 dirà piano perpendicolare a t pel punto a. La retta si dirà perpendicolare al piano. La 

 nuova relazione di perpendicolarità si rappresenterà ancora con _l. 



