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FONDAMENTI DELLA METRICA PEOJETTIVA 



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I teoremi 8 e 11 dìmno luogo al 



Tr. 12. — " Per un punto aderente ad una retta od appartenente alla retta 



* passa uno e un sol piano perpendicolare alla retta. Esso contiene tutte le perpendi- 

 " colari alla retta pei punti del piano. Condizione necessaria e sufficiente perchè un 

 " piano sia perpendicolare a una retta è che a questa siano perpendicolari due sue 

 " rette senza che il piano passi per essa „. 



Tr. 13. — " Ad un piano ed in un suo punto esiste una ed una sola perpendi- 

 " colare „. E l'intersezione di due piani perpendicolari in quel punto a due rette pas- 

 santi pel punto medesimo, sul piano dato. 



13. Simmetria rispetto a un punto. — Tr. 1. — " Assegnato un punto arbi- 



* trario o, la corrispondenza che si ottiene riferendo ad ogni punto aderente ad o il 



* suo simmetrico rispetto ad o è una congruenza „. 



Siano a e b due punti arbitrari, e sia a' = a'o, b' = bl„. Se cibo sono allineati, 

 la coppia ab è portata in a'b' dal ribaltamento della retta x{ab) attorno ad o ; quindi 

 ab = a'b'; se abo non sono allineati, a' e b' appartengono a p(a6o) e la coppia ab è 

 portata in a'b' dalla semirotazione del piano intorno ad o ; ancora ah = a'b'. 



Def. — ■ La congruenza definita nel teorema precedente si dirà una simmetria 

 rispetto ad o. 



Come per teoremi analoghi precedenti si prova che 



Tr. 2. — "La simmetria rispetto ad un punto o sposta ogni punto aderente 

 " ad e tien fisso ogni punto non aderente ad o. Se un tal punto esiste, esiste tutto 

 " un piano di punti non aderenti ad o, ed ogni punto non aderente ad o appartiene 

 " a questo piano 



14. Simmetria rispetto a un piano. — Tr. 1. — " Assegnato un piano arbi- 

 " trario, esiste una congruenza che tien fermi tutti i suoi punti e sposta qualche altro 

 " punto „. Tale è il prodotto di una simmetria rispetto a un punto o del piano e di 

 una semirotazione intorno alla perpendicolare in o al piano (12 t. 13). 



Def. — La congruenza nominata si dice simmetria rispetto a quel piano fisso. 

 I teoremi del n. 12 permettono di enunciare il 



Tr. 2. — "La simmetria rispetto a un piano è individuata da questo piano; 

 " essa è una corrispondenza involutoria che ribalta tutte le perpendicolari al piano; 

 " tutte le perpendicolari al piano nei punti d'una retta sono complanari. La simmetria 

 " sposta ogni punto aderente al piano. Esiste al piìi un punto non aderente al piano. 

 " e questo in tal caso è fisso per la simmetria. Tutte e sole le perpendicolari al piano 

 " passano per questo punto. Per ogni punto aderente al piano passa una ed una sola 

 " perpendicolare al piano „. 



Ogni altra proprietà relativa a rette e piani perpendicolari si dimostra ora, con 

 procedimenti noti. 



15. — Non è nel nostro disegno di proseguire nello studio delle trasformazioni 

 metriche fin qui definite e dei loro prodotti. Ci volgeremo invece a mostrare come, 

 sulla base dei postulati metrici ammessi, si possa stabilire la geometria projettiva e 

 come ne risulti la definizione della nostra metrica, siccome una metrica projettiva 



