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perpendicolari; essi costituiranno di nuovo la configurazione del teor. 1 (perchè p{riAA') 

 = p{riAiA\) J-Pi e a TT, onde x{A^A\) J-x{MiNiPi) intersezione di tt e p e così via). 

 Cosi x{CiC'i)±x{MiNiPi) e quindi x{CiC\) passa pel punto S non aderente a x{MiNiPj) 

 e sono per conseguenza collineari anche CC'R: p{cc') passa per r. 



c) Supponiamo infine che l'intersezione dei piani p{aa') p{bb') appartenga a p. 

 Basterà osservare che, se si suppone che p(rc') non passi per detta intersezione, 

 l'intersezione di p{aa'), p{cc') non appartiene più a p; ed allora i risultati dei casi 

 a) e b) mostrano che per questa intersezione dovrebbe passare p{bb'); non potrebbe 

 dunque incontrare p{aa') su p. 



17. La geometria analitica. — Il sig. Hilbert ha mostrato (^) come, sul fon- 

 damento del solo teorema di Desargues, si possa fondare una rappresentazione per 

 coordinate degli elementi della varietà lineare a due dimensioni. Riassumerò in questo 

 numero quanto dovrà servirci del procedimento e delle conclusioni del sig. Hilbert, 

 trasportati dal piano alla stella; tralascierò tutte quelle dimostrazioni che possono 

 leggersi, mutatis mutandis, nel citato lavoro dello Hilbert. 



In una stella Q sia fissato un piano iw (d'altronde arbitrario) ed un raggio oJ-uj, 

 e siano E e ti due piani fissi per o. Per le applicazioni successive converrà che i 

 piani E, ì] siano simmetrici rispetto a un piano (J per o. Siano 1^, 1,^ due raggi fissi 

 rispettivamente su E ed r]. Converrà ancora, per le seguenti applicazioni, che 1| e 1»; 

 siano simmetrici rispetto a (J; si chiami e l'intersezione di uj col piano |)(1|1,^) ; sarà 

 allora e±a. Se e a,j sono due raggi di E e ti rispettivamente, si dirà = (2) 

 se a^, sono complanari con e; nel caso della nominata simmetria e a,j saranno 

 simmetrici rispetto a a. Siano ancora ujt e oi,^ le rette d'intersezione di uu rispetti- 

 vamente con E ed n, cosicché uut = uu,^. 



Siano a| e b^ due raggi di E, a,^ = a|; sia r l'intersezione dei piani p(aj;UJfc), 

 p{b^ uu,^) e sia c| l'intersezione di E e p{re) ; si dirà la somma di e bt ; 



= «5^ + 



Si ha: 



(i§ + bg = bg + «1 = ayj + brj 



L'addizione così definita si può invertire univocamente per modo che ne risulti 

 definita la differenza fra due raggi et ed at^ purché i due raggi non coincidano 

 entrambi con uj|. Si verifica agevolmente che o -j- = e quindi « t — a t = o. 

 Converrà quindi chiamare il raggio o, raggio 0. Ad ogni raggio at corrisponderà un 

 raggio — = — a^. Quando E ed n siano simmetrici rispetto a a, e — a| si 



(') Grundlagen der Geometrie. ' Festschrift zur Feier d. Enthullung d. Gauss-Weber- Denkmals in 

 Gottingen , - Leipzig, Teubner 1899 (2" Auflage, 1903). 



C^) Lo Hilbert parla d'uguaglianza, di somma, ecc. di segmenti. Noi non possiamo usare una ter- 

 minologia analoga, poiché non abbiamo ancora discorso dell'ordinamento degli elementi d'una forma 

 di prima specie. D'altronde le operazioni definite si riferiscono precisamente solo all'estremo mobile 

 del segmento. 



(?) Le due uguaglianze sono due forme d'una stessa; lo Hilbert non scrive la seconda, come non 

 scrive quella analoga per la moltiplicazione. Nella scelta di H ed n simmetrici rispetto a <T, l'ugua- 

 glianza si dimostra per simmetria, senza ulteriore ricorso al teorema di Desargues. 



