35 



FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



315 



corrispondono per una semirotazione intorno ad o (come si mostra facilmente osser- 

 vando che la semirotazione intorno ad o si compone mediante la simmetria rispetto 

 a (J e quella rispetto al piano ± cf per o). 



Occorre rilevare la doppia univocità dell'addizione, per cui sommando o sot- 

 traendo a uno stesso raggio che non sia u»^ (o uu^) raggi diversi si ottengono risultati 

 diversi. 



L'addizione definita gode pure della proprietà associativa: 



(«I + + = + {h^ + Cf) 



e quindi della proprietà commutativa applicata a un numero qualunque di addendi. 



Il piano p(a^l|) seghi uj secondo la retta r e r) seghi n in Cì^;c^ = c,^ si 

 dirà il prodotto di a^, b^: 



= Cr^ = a^bt. 



Per simmetria rispetto a (T (o mediante il teorema di Desargues) si mostra che 

 a^b^ = ttjjbrj-, non si può però dimostrare la proprietà commutativa della moltiplica- 

 zione (1), la quale, nel nostro sistema geometrico, risulterà dagli ulteriori sviluppi; 

 la moltiplicazione gode invece, sul fondamento del solo teorema di Desargues, della 

 proprietà associativa: 



e delle due proprietà distributive rispetto all'addizione: 



^ii^S + '^^) = «l^i? i- (^èH 

 ÌH T c^)a^ = i|«f + Cf 



Infine risulta immediatamente dalla definizione: 



l^a^ = af If = a| , a^o = oa^-^o, «fout = uu^af = lut. 



Risulta pure che la moltiplicazione è operazione univoca che ammette due inverse, 

 che si propongono di determinare l'una il fattore a destra, l'altra il fattore a sinistra, 

 anch'esse univoche se il prodotto e il fattore dati non sono entrambi o o uie = lu^j : 

 chiameremo divisioni queste due operazioni e porremo : 



xt = ^^lbt quando at = x§b^, yt=i,^\^"§ quando at=:bti/t. 



Si chiameranno coordinate di un raggio r di Q le intersezioni di E ed r| rispet- 

 tivamente coi piani p{ru}ri), |)(ruj|); le coordinate sono univocamente determinate dal 

 raggio, se questo non è u)| o u'^, e lo determinano univocamente se esse non sono 

 rispettivamente uut, uj,^, cioè se il raggio non sta sul piano uj. 



C) Cfr. 1. e, § 33. 



