316 



BEPPO LEVI 



36 



Il sig. Hilbert dimostra che tutti e soli i raggi di un piano di Q, non apparte- 

 nenti a uj, soddisfanno a un'equazione lineare della forma 



ax by c = 



dove ab c sono tre raggi fissi di E o di ri diversi da ait, Wfj e x, y le due coordinate, 

 sul piano 5 e su ri rispettivamente, del raggio variabile. Quest'equazione è l'equazione 

 del piano nel sistema di coordinate prescelte. 



18. — I calcoli seguenti saranno semplificati se alle coordinate sopra definite 

 si sostituiscono le 



z = llx t = yjx 0) ; 



si potrà fissare che z e t rappresentino due raggi di E ; quando si debba indicare che 

 le coordinate appartengono ad un determinato raggio si applicherà il nome di questo 

 raggio come indice : pei raggi di lu sarà z = ma t prenderà un valore variabile 

 in corrispondenza biunivoca col raggio, cosicché saranno ora rappresentati biuni- 

 vocamente tutti i raggi, tolti quelli di r\. L'equazione del piano prende la forma 

 a bt cz = ^, 0, cambiando il significato di a, b, c, 



az -\- bt -\- c = (1). 



Sia ora ti un piano _lo non passante per Q ed aderente a Q e sia Q' il punto 

 simmetrico di Q rispetto a tt. Si riferisca la stella Q' ad un sistema di coordinate, 

 simmetrico rispetto a tt di quello stabilito in Q ; siano cioè piani di riferimento i', r\' 

 i piani E ed ri medesimi, piano ai' il simmetrico di uu rispetto a tt, e in generale si 

 indichino colla stessa lettera coU'apice gli elementi simmetrici di quelli di Q rispetto 

 a IT. Se z's; t' sono le coordinate del raggio s', analoghe in Q' alle z^, di r in Q, 

 rappresenterò con z'^., t',, i raggi di Q in E simmetrici di z',., t' rispetto a tt : essendo 

 r e r' simmetrici rispetto a tt, sarà evidentemente z\- = z^, t' „ = t^. 



Si osservi che l'equazione di un piano di Q passante per o è t = c, ove e è un 

 raggio fisso: questo piano sarà simmetrico di se stesso rispetto a tt; esso potrà quindi 

 essere considerato come piano di Q' ed avrà in Q' un'equazione della stessa forma 

 i! —c' . Se ora r è una retta di questo piano uscente da Q, sarà t, = c\ la sua sim- 

 metrica r' apparterrà allo stesso piano e sarà quindi = c' ; per l'osservazione pre- 

 cedente sarà dunque, per tutte le rette per Q' in questo piano t' =^ t — c. Il ragio- 

 namento si può invertire, cosicché potrà affermarsi che: 



" Condizione necessaria e sufficiente perchè due rette r ed s' di S2 e Q' rispet- 

 " tivamente siano complanari è che t\' = tr„. 



Se ^ è un punto qualunque dello spazio, esso determina i raggi x{Qp)=r, x{Q'p)=s' 

 complanari, e ne è determinato. " Si potranno dunque assumere a rappresentanti del 

 " punto {coordinate del punto) i tre raggi z,., z\,, t, — t' Il punto ne sarà univocamente 

 " determinato purché non appartenga al piano x\ „. 



(*) Si sono soppressi qui e nel seguito gli indici 2, i), il che permettono di fare le uguaglianze 

 a^-^ = atj ^ bì] , a§b^ = arj bt) . 



