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Se l è una retta qualunque non incontrante o, essa determina due piani distinti 

 |)(QZ), p(Q7), e ne è individuata. Si potranno assumere a rappresentanti della retta le 

 equazioni dei due piani; e si può imporre alle variabili t e t' , nelle due equazioni, 

 di essere costantemente uguali; allora le soluzioni comuni alle due equazioni, che 

 rappresentino un punto, rap'presenteranno un punto della retta. " Le due equazioni della 

 " retta assumeranno la forma: 



az bt -\- c = dz' et -\- f = (2) 



" dove a e (?H=0 La rappresentazione si estende da sè al caso che una delle co- 

 stanti aod sia nulla ; risulterà allora determinato t indipendentemente da « e e' e 

 conseguentemente una di queste variabili sarà ancora determinata indipendentemente 

 dall'altra, mentre questa sarà completamente arbitraria. Si avrà cioè una retta per Q 

 per Q'. Se invece si supponesse a =r = 0, non si rappresenterebbe che la retta o, 

 ovvero i due piani coinciderebbero. 



Se delle due equazioni che rappresentano una retta si fa una combinazione li- 

 neare, si può disporre del parametro di questa combinazione in modo che l'equa- 

 zione lineare risultante sia soddisfatta quando alle variabili si diano i valori delle 

 coordinate di un punto assegnato. Viceversa, data un'equazione lineare fra le varia- 

 bili z, z', t: 



az -\- bz' -\- ^t ~\- j = (3) 



e l'equazione (1) d'un piano di Q (ove si supponga « =^ 0, per modo che il piano non 

 passi per o), si può formarne una combinazione lineare in cui sia nullo il coefficiente 

 di ^ e che rappresenti quindi un piano di Q', e se questo piano, insieme con (1), de- 

 termina una retta, tutti i punti di questa retta soddisferanno all'equazione (3). Se 

 dunque le coordinate di due punti soddisfanno la (3), vi soddisferanno pure tutti i 

 punti della loro congiungente, le cui equazioni sono costituite dall'equazione (1) del 

 piano che da Q projetta quei due punti e dall'equazione che si ottiene eliminando z 

 fra (1) e (3). [Non va dimenticata qui la restrizione che si suppone a H= 0, cioè quei 

 due punti non complanari con Q e Q'. Su questo caso ritorneremo tosto. — Qua- 

 lora si supponesse a = si potrebbe ancora, formalmente, eliminare la z fra la (3) 

 e la (1), ma si riotterrebbe generalmente la (1) e si cadrebbe nel caso d'indetermina- 

 zione già citato a proposito del sistema (2) — a meno che fosse anche a = oppure 

 b = 0, nel qual caso (3) e (1) (con a = 0) formerebbero senz' altro un sistema (2) e 

 rappresenterebbero una retta per Q' o per Q]. 



Ciò posto si consideri un piano \){mnp) non passante pero; fra i tre punti m,n,p 

 si potrà sceglierne due w, n, la cui congiungente non incontri o e si rappresenti 

 quindi con un sistema (2), e si potrà formare delle equazioni di questo una combi- 

 nazione lineare (3) che sia soddisfatta anche da p. Se allora anche x{mp) e ^inp) non 

 stanno in piani per o, i punti di queste medesime rette soddisfanno la (3) e cosi 

 ancora i punti delle rette che congiungono ni, n, p rispettivamente con punti di x{np\ 

 x{mp), x{mn) — almeno finche queste congiungenti non sono complanari con o. — 

 L'eccezione circa queste rette si rimuove subito osservando che, quando mnp non 

 appartengano ad un piano per o, si può sempre (in quanto non servono ad altro che 



