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alla determinazione del piano) mutarli in altri tali che un punto il quale apparte- 

 nesse al piano in quanto appartiene ad una sua retta per m, n o p complanare con o, 

 sia assegnato al piano medesimo da una retta in differenti condizioni. Dunque " tutti 

 " i punti di un piano non passante per o soddisfanno ad una stessa equazione della 

 " forma (3) „. D'altra parte si è già visto che * anche i punti di un piano per o sod- 

 " disfanno ad una determinata equazione della forma (3) con a = b = „. 



Reciprocamente " se quattro punti mnpq soddisfanno una stessa equazione (3) 

 " sono complanari „. [Si debbono supporre i quattro punti a 3 a 3 non allineati, altri- 

 menti la proposizione diviene illusoria]. Si supponga infatti che p{mnp) non passi per Q; 

 i piani p{mnp) e p{Qpq), avendo a comune il punto p, si segano secondo una retta, la 

 quale dovrà rappresentarsi nella forma (2) tosto che, come può supporsi ('), p{Qpq) 

 non passi per o ; e questa retta dovrà soddisfare tanto all'equazione della forma (3) 

 cui soddisfanno i punti di p{mnp), quanto a quella della forma (1) del piano p{Qpq). 

 Ma i coefficienti di (3) sono determinati dalle coordinate di mnp (o almeno ne son 

 determinati i rapporti {^)) e l'equazione del piano p{mnp) non differisce quindi dal- 

 l'equazione (3) cui, per ipotesi, soddisfanno i quattro punti m, w,2>, cosi è comple- 

 tamente determinato un sistema della forma (2) equivalente al sistema (3) (1) e conte- 

 nente fra i punti che lo soddisfanno tutti quelli dell'intersezione di p{mnp), p{Qpq). 

 Quel sistema della forma (2) rappresenta x{pq); dunque l'intersezione di quei due piani 

 è contenuta in x{pq) e coincide così con essa. Vale a dire che q appartiene a p{mnp). 



(^) Infatti come punto p si può prendere uno qualunque dei punti rappresentati come m,n,p: 

 è allora chiaro che se tutti appartenessero a ^(05), anche \i{mn-p) passerebbe per o, anzi coinciderebbe 

 con '^[oq); e risulta incidentalmente dimostrato che anche allora i 4 punti sono complanari. 



(^) Perchè non s\ipponiamo alla moltiplicazione la proprietà commutativa, non sarà forse inutile 

 esporre uno dei calcoli che permettono quest'affermazione ed altre che seguiranno, come altre simili, 

 sebbene più semplici, furono fatte già. L'equazione (3) debba essere soddisfatta dai punti m,n,p 

 di coordinate (ziz(t^ {z^z^t^) (zzzit^. Si indichino con (3|)(32)(33) le equazioni che si ottengono sosti- 

 tuendo in (3) a [zzi] rispettivamente questi valori; sottraendo (82) 6(83) da (3i) si ha: 



o-{z, - 02) + ò iz^'- z\) + p - ^3) = a (e, -z,) + h (z^- z^) + - ^3) = 



onde 



a + b 4- P ''-'^/,._,, = a + ò + P '■-'',''^,-,3 = (I) 



e sottraendo 



ossia, sottraendo dai due membri il 2° termine e dividendo davanti per P e di dietro per 



>ì — «2'/ *r — 'zi 



//-2i'— 22'/ «l'-V/ 



Da una delle (I), per es. la 1", dividendo dinnanzi per P si ha poi 



da cui si ricava p e finalmente, dividendo davanti per p i due membri della (3i), si ricaverà p/^. 



Risulta così anche posto in evidenza che i rapporti dei coefficienti che, come si disse, sono 

 determinati, sono quelli ottenuti per divisione a sinistra; ed infatti l'equazione (3) si muta in 

 un'altra equivalente per moltiplicazione a sinistra di tutti i termini per uno stesso fattore. 



