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FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



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Se p{mnp) passasse per Q, l'equazione (3) corrispondente assumerebbe la forma (1) 

 ed allora il raggio 1(^7) dovrebbe appartenere senz'altro a questo piano per quanto 

 fu detto a proposito di quella prima equazione (0 della equivalente del precedente 

 numero). 



" Ogni equazione della forma (3) che sia soddisfatta da tre punti tnnp non alli- 

 " neati potrà dunque chiamarsi l'equazione del piano p(m«p) „. Date le equazioni di 

 due piani distinti che passino per una stessa retta rappresentabile nella forma (2) 

 si possono ottenere le equazioni di questa forma che rappresentano la retta per com- 

 binazione lineare di quelle dei due piani — come già l'equazione di un piano qua- 

 lunque per la retta fu ottenuta per combinazione lineare di quelle del sistema (2). 



Si ottiene cosi una rappresentazione più generale della retta mediante le equa- 

 zioni di due piani per essa, e questa rappresentazione si estende alle rette — che 

 finora erano state escluse — complanari con 0; se infatti due piani si intersecano 

 secondo una retta complanare con 0, i punti di questa dovranno soddisfare le loro 

 equazioni ed ogni combinazione lineare di esse: reciprocamente se le equazioni di 

 tre piani sono tali che una di esse non è combinazione lineare delle altre due si può, 

 con un facile calcolo determinare un unico sistema di valori per le coordinate e pei 

 loro rapporti ottenuti per divisione a destra, che le soddisfa tutte tre e ogni loro 

 combinazione lineare: se questi valori non rappresentano un punto i tre piani non 

 s'incontrano; s'incontrano in caso contrario, ma non potranno mai avere comune 

 una retta. 



Una lacuna presenta ancora la precedente rappresentazione per coordinate dei 

 punti del nostro spazio, ed è relativa ai punti del piano ri (cfr. il principio del pre- 

 sente numero), fu essa che ci obbligò, nelle linee precedenti, a parlare dei rap- 

 porti delle coordinate; essa si elimina in modo notorio, sia definendo il punto me- 

 diante le equazioni di tre piani per esso, linearmente indipendenti, e tutte le loro 

 combinazioni lineari, sia mediante l'uso di coordinate omogenee; si giungerà agevol- 

 mente a queste ultime introducendo nuovamente la coordinata x che al principio del 

 numero si è eliminata, e le equazioni da sostituirsi alle (1), (2), (3) si otterranno 

 applicando a destra del termine indipendente dalle variabili la nuova variabile x, 

 come già per divisione a destra questa coordinata si era eliminata. 



Si dovranno considerare come identici sistemi di coordinate che si ottengano 

 l'uno dall'altro per moltiplicazione a destra di tutte le coordinate di un sistema per 

 uno stesso raggio. 



19. Completamento dello spazio projettivo. — I risultati precedenti ci mettono 

 in grado di definire un campo di pioìfi ideali, preferibilmente punti projettivì, che 

 comprende come caso particolare la varietà dei punti cui si riferiscono i nostri po- 

 stulati metrici: campo nel quale è assicurata l'intersezione di piani e rette. 



Chiameremo punto projettivo l'insieme di quattro raggi della stella Q nel piano i, 

 non tutti coincidenti con lue e dove si considerino come identiche quaterne diverse 

 in cui i raggi omologhi differiscano solo per la moltiplicazione a destra per uno stesso 

 fattore. Si potranno rappresentare generalmente questi raggi con x^ x^ Xi e si 

 chiameranno le coordinate omogenee del punto, mentre si chiameranno coordinate 

 non omogenee i tre rapporti z=''*lx„ z' = ''-lz„ t = ^'lx,. Se questi raggi sono, secondo 



