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BEPPO LEVI 



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il preced. n", le coordinate di un punto del nostro spazio fondamentale si dirà che 

 questo punto e il nominato punto projettivo coincidono. 



Si dirà piano proiettivo l'insieme dei punti progettivi le cui coordinate non omo- 

 genee soddisfanno ad una equazione della forma (3) e a tutte quelle che dalla mede- 

 sima si ottengono moltiplicando a sinistra tutti i coefficienti per uno stesso fattore 

 (ovvero le cui coordinate omogenee soddisfanno all'equazione (3) resa omogenea mercè 

 la moltiplicazione a destra per Xi). 



Si dirà reMa projettiva l'insieme di punti projettivi comuni a due piani projet- 

 tivi distinti (e a tutti quelli che si deducono mediante combinazione lineare delle 

 loro equazioni). 



Due punti projettivi determinano una retta projettiva, tre punti projettivi non 

 appartenenti alla stessa retta projettiva, un piano projettivo ; due piani projettivi si 

 tagliano secondo una retta, tre piani projettivi non passanti per la stessa retta hanno 

 comune un punto projettivo. — Punti dello spazio fondamentale allineati o compla- 

 nari nel senso del Cap. I sono pure punti projettivi d'una stessa retta projettiva o 

 d'uno stesso piano projettivo; e reciprocamente, punti dello spazio fondamentale che, 

 in quanto punti projettivi, appartengano ad una stessa retta o piano projettivi sono 

 allineati o complanari. — Se tre piani hanno comune un punto dello spazio fonda- 

 mentale, e, in quanto piani projettivi, hanno comune una retta projettiva, avranno 

 comune una retta di punti dello spazio fondamentale, contenuta in detta retta pro- 

 jettiva (perchè due di quei piani, avendo comune un punto, avranno una retta comune, 

 e questa sarà contenuta in quella retta projettiva e quindi comune ai tre piani). 



Il nostro spazio projettivo cosi costruito godrà senz'altro di tutte le note pro- 

 prietà di cui si fa uso nella geometria projettiva, riguardo all'incidenza di punti, 

 rette e piani {Verktiiipfungsaxiome secondo lo Hilbert). 



§ 2. — La geometria projettiva e la metrica. 



20. Il teorema di Pappo-Pascal. — Noi siamo ora in grado di dimostrare senza 

 difficoltà il teorema di Pascal per la coppia di rette : completato infatti lo spazio 

 come nel precedente §, non esiste più alcuna limitazione al trasporto delle proprietà 

 grafiche per projezione, e basterà quindi dimostrare il teorema per una particolar 

 coppia di rette. Si può allora trasportare al caso nostro la dimostrazione insegnata 

 dal sig. Schur nei Math. Ann. 51 (^). Riassumerò molto brevemente quella dimo- 

 strazione dando rilievo alle poche osservazioni complementari che qui occorrono : nel 

 seguito (Cap. Ili, n. 33) riotterrò lo stesso risultato per tutt'altra via, la quale mi pare 

 anche degna di nota. 



Occorre premettere che il prodotto di due simmetrie rispetto a piani per una 

 stessa retta non è una simmetria, il prodotto di tre simmetrie rispetto a piani per 

 una retta è una simmetria rispetto a un piano per quella retta medesima. Sia r la 

 retta per cui passano i piani di simmetria (Tj Og (Tg : siano Zi Z2 ^3 tre simmetrie ; 



(^) Ueber den Fundamentalsatz der projectiven Geometrie. 



