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FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



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se 1.2<^i = Oi" sarà I^^iO^i — ^i"; ^ la^i ^2 stabiliscono la stessa corrispondenza 

 fra i punti dei piani a^, o^" ; ma esiste una sola simmetria che scambia due dati 

 punti e tien fissa una retta data aderente ad ossi: così, se Z2^i fosse una sim- 

 metria, coinciderebbe con I.^. ^2 dovrebbe essere per Z, piano di punti fissi e quindi 

 a.) = <?,, Z^ = Z,; ma allora ZgZj sarebbe l'identità. Sia poi P un punto di ade- 

 rente ad /• e sia ZaZsP^ F' ; Pe P' stanno in uno stesso piano ±.r\ se questo piano 

 incontra r, sia O il punto d'incontro e sia Me^P P'; si ha MOP = MOP' e la congruenza 

 così definita sul piano (n. 3) è un ribaltamento intorno a x{MO), se M è aderente a 0; 

 se M non è aderente a 0, scambierà P e P' il ribaltamento intorno alla ±x{MO) in 0. 

 Questo ribaltamento del piano può sempre ottenersi mediante una simmetria rispetto 

 al piano determinato da r e dall'asse del ribaltamento. Il prodotto di ZjZgZj per questa 

 simmetria ha il piano p(rP) come piano di punti fissi: se esso non è l'identità, è 

 una simmetria rispetto a questo piano. Ora lo stesso deve dirsi del prodotto di Z3Z2 

 per la medesima simmetria. Se il primo prodotto non fosse l'identità, lo sarebbe il 

 secondo e Z3Z2 sai-ebbe una simmetria, contro le precedenti conclusioni; così sarà 

 una simmetria Z3Z2Z1. — La dimostrazione si svolge con maggior semplicità se sul 

 piano ±r per P e P' esiste una retta non aderente ad r, il che è certamente il 

 caso se questo piano non incontra r. Infatti ciascuna simmetria, Zj, Z2, Z3, induce su ri 

 un ribaltamento e quindi il loro prodotto ancora un ribaltamento (7 t. 13 e 10), onde 

 immediatamente si vede che il prodotto delle tre simmetrie è la simmetria rispetto 

 al piano che unisce r con uno dei punti fissi in questo ribaltamento rispetto al piano 

 per 7- perpendicolare a questo. 



Premesse queste osservazioni, siano A^AsA^ tre punti projettivi di una retta 

 projettiva, Jg^i^e ti's punti d'una retta projettiva giacente con questa in uno stesso 

 piano projettivo. I 6 punti saranno projettati da Q secondo rette (dello spazio fon- 

 damentale). Le due rette sostegni dell'esagono possono sempre, per proiezione, imma- 

 ginarsi trasportate su due piani per Q, simmetrici rispetto a un piano c7, per es. sui 

 due piani E, r\ del n° 17. Si seghi allora la figura mediante un piano J-Cf, non pas- 

 sante per Q e che tagli in punti dello spazio fondamentale le 6 rette nominate (XXII); 

 si otterrà un nuovo esagono aia^a^, a2^'4«6 a cui si potrà ora senza ulteriori modifi- 

 cazioni applicare la dimostrazione del sig. Schur: siano g e g' le due rette sostegno 

 dell'esagono e sia r una retta di o non perpendicolare al loro piano. Siano gi'gs'g^' 

 le simmetriche di g rispetto ai piani p(rrti), ^'(ras), P{rrir,); g2 gt gs le simmetriche di g' 

 rispetto a p{ra.2), Pira^), Pirae). Le precedenti osservazioni circa ai prodotti di sim- 

 metrie mostrano che ciascuna retta con apice è complanare con ciascuna retta senza 

 apice, ma rette con rette senz'apice non saranno complanari fra loro perchè il loro 

 piano dovrebbe essere P{gg'}. Ciascuna retta r(a,a,) {i dispari, l pari) sta sul p{g,gi'). 



Si considerino i seguenti punti projettivi : 



Di intersezione di x{aia2), x{a^ar,) Fi intersezione di g-i'g^ 



A „ , x{ar,as), xia^as) 'Fa „ „ gi'g^ 



^3 « „ r(«6«i), x{a.^(ii) „ „ SfsV/s . 



e le rette projettivo: 



di = x{F2F.i) = ìntevsezìone di l'Ij/i'.'/o), IH^/^ys') 



ci, = xiF^Fi) = , r, Pig.'gol Vig^g^') 

 d^ = x{FiF,)= „ ^ Hg^gi), Pigs'gi) 



SKRiK li. Tom. I,IV. p' 



