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Di, D2, D3 stanno, come si vede dal quadro precedente, su di, d^. d^ rispettivamente 

 e quindi sul piano proiettivo X^iFiF^F^), e perciò sulla retta projettiva intersezione 

 di questo piano con \){gg'). 



21. La geometria proiettiva. — Il sig. Schur, nella citata memoria, mostra 

 come, sulla base del teorema di Pascal e di quello di Desargues si possa dimostrare 

 il teorema fondamentale di Staudt e istituire quindi l'intera geometria projettiva. 

 Per altra parte il sig. Hilbert giunge allo stesso risultato, per via analitica, dimo- 

 strando la proprietà commutativa della moltiplicazione, definita al n° 17, mediante 

 il teorema di Pascal. Io non m' intratterrò quindi ulteriormente sopra questo argo- 

 mento. 



Mi piace invece di rilevare come il concetto di ordine degli elementi di una 

 forma di prima specie non abbia avuto fin qui alcuna parte nella istituzione della 

 nostra geometria e non abbia piìi alcuna ragione di averne in seguito, in tutto lo 

 sviluppo della geometria projettiva, giacche è interamente stabilita la rappresenta- 

 zione per coordinate e la geometria analitica. 



È essenziale notare che, per questa costruzione della geometria projettiva, non 

 è necessario che a espressioni aritmeticamente irreduttibili fra loro nel campo di 

 numeri definito al n° 17 — (così, imitando lo Hilbert, sarà conveniente chiamare 

 d'or innanzi l'insieme degli elementi su cui si opera colle regole aritmetiche del 

 n° 17) — corrispondano raggi diversi dei piani coordinati, pur tenendo conto della pro- 

 prietà commutativa della moltiplicazione ora introdotta; bensì è necessario soltanto 

 che a raggi diversi corrispondano numeri espressioni fra loro aritmeticamente ir- 

 reduttibili. 



Per chiarire ci riferiremo alle espressioni — numeri — generate dalle opera- 

 zioni definite al n" 17, che, per comodità, trasporteremo dalla stella al piano projet- 

 tivo. Sono fissati nel piano due assi n : il loro punto d'incontro si chiama ; sui 

 due assi inoltre sono fissati due punti uj|, uj,^. Ad ogni punto di ciascuno degli assi 

 si fa corrispondere un elemento aritmetico — numero — e il punto medesimo si rap- 

 presenta collo stesso simbolo di questo numero affetto dall'indice E ri secondochè 

 si trova sull'uno sull'altro asse. Si attribuisce uno stesso numero a punti dei due 

 assi allineati con uno stesso punto TI sulla retta r(uj|uj,j) e fuori degli assi: per la 

 definizione della moltiplicazione occorre inoltre che fra i numeri del nostro campo 

 se ne distingua uno da chiamarsi 1 (e quindi 1^ e 1,^ i punti corrispondenti sugli 

 assi E, r\) per cui, qualunque sia il numero a, a .1 = a. Se, conservando le comuni 



convenzioni aritmetiche, si pone 1-4-1 = 2. 2 + 1 = 3, , a .a — a^, si mostra 



che, mediante le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione defi- 

 nite al n° 17 (tenendo conto, per quest'ultima, che la proprietà commutativa della 

 moltiplicazione elimina anche la differenza fra divisione a destra e a sinistra), si 

 possono costruire tutti i punti degli assi, corrispondenti agli elementi del campo di 

 razionalità che ha per base il sistema dei numeri corrispondenti a quanti si vogliano 

 punti fissati arbitrariamente sugli assi. Ora si può supporre che due elementi di questo 

 cam,jo, fra loro aritmeticamente irreduttibili, rappresentino tali successioni di opera- 

 zioni che conducano allo stesso punto finale. La differenza fra questi due elementi 

 rappresenterà allora lo 0. L'insieme di tutti gli elementi rappresentanti lo costi- 



