43 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 323 



tuisce evidentemente un modulo [Zahlenmodul) con coefficienti appartenenti al campo 

 di razionalità sopra nominato; e rappresentano uno stesso punto tutte le espressioni 

 di questo campo di razionalità, congrue fra loro rispetto a quel modulo. Il prodotto 

 di due punti p, q non sarà mai lo se non è almeno uno di essi, come si vede 

 considerando direttamente l'operazione di moltiplicazione definita al n" 17. In parti- 

 colare, se il campo di razionalità considerato è il campo naturale generato dal- 

 l'elemento 1, gli elementi rappresentanti lo saranno tutti quelli della forma ^ n 



le 



dove « è un numero primo e k non è divisibile per n. 



È evidente come si possa verificare una geometria quale quella qui accennata. 

 Si consideri, per es., il piano numerico costituito da tutte le coppie (xi/) di numeri 

 razionali, e si chiami punto l'insieme di tutte le coppie le cui coordinate omologhe 

 differiscono fra loro per numeri della forma ^n, dove n è un numero primo fisso e k 

 non è divisibile per n; si chiamino altresì punti gli aggregati di tali coppie in cui una 

 almeno delle coordinate ha il denominatore multiplo di n ed in cui i rapporti fra le 

 coordinate — prese nello stesso ordine — contengono tutti ancora n a denominatore 

 oppure differiscono fra loro per numeri della forma sopra nominata. Vi si chiami 

 retta: 1» ogni aggregato di questi punti le cui coordinate non hanno al denomina- 

 tore il fattor n e che fanno prendere ad uno stesso trinomio ax A- bij -\- c [ a, b, c ra- 

 zionali e con denominatore non divisibile per n; a, b non entrambi della forma 

 valori della forma ^ «, più il punto le cui coordinate hanno al denominatore il fat- 

 tore n ed hanno un rapporto che differisce da — ^ per un numero della forma • 



^ /e ' 



— 2" 1 aggregato dei punti di cui almeno una coordinata ha per denominatore un 

 multiplo di n. 



Si otterrà cosi un piano di punti in cui si verifica la geometria projettiva nel 

 modo sopra detto {^). 



Se in particolare si fa n = 2, si otterrà un piano projettivo in cui si verifica il 

 teorema di Desargues e quello di Pascal e si può quindi costruire simbolicamente la 

 geometria projettiva e immerger questo piano in uno spazio projettivo a tre dimen- 

 sioni (2) ; ma nella qual geometria projettiva il quarto armonico dopo tre elementi dati 

 coincide con uno di questi tre {^). 



L'esempio offerto dal sig. Fano (*) per dimostrare l'indipendenza della proposi- 

 zione: " il quarto armonico dopo tre elementi dati è distinto da ciascuno di essi „ 



(') Cfr. n. 31. 



C) Cfr. HiLUKiìT. 1. e, § 29. 



Se quindi il piano projettivo è costruito, come sopra si disse, sul piano numerico costituito 

 dalle coppie di numeri razionali (.2: y), la retta non contiene più di tre punti; ma un campo projet- 

 tivo analogo si ottiene ancora se si allar^^a il detto piano numerico, allargando il campo di razio- 

 nalità cui debbono appartenere x,y: dovranno allora rappresentare lo i multiiili di 2, con fattore 

 da multiplu-ità un elemento qualunque di questo nuovo campo di razionalità. 



(') .S"((. postulati fondamentali della geometria projettiva. " Giornale di Batta^rlini ., XXX-1891. 



