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BEPPO LEVI 



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dai postulati di appartenenza {Verknupfung secondo il sig. Hilbert) è una realizza- 

 zione geometrica di questa costruzione analitica. Le presenti considerazioni mostrano 

 appunto il posto che quel postulato occupa nello sviluppo della geometria projettiva; 

 in mancanza di esso molte proposizioni non diverrebbero eri'onee, ma illusorie. 



E chiaro che su queste osservazioni generali intorno alla geometria projettiva 

 non sono senza influenza i postulati metrici del Gap. I. Cosi l'esistenza delle perpen- 

 dicolari, in un piano, ad una sua retta esclude immediatamente il caso dianzi trattato 

 che non esista la quaterna armonica di punti distinti: basti osservare che il teorema 

 di Desargues nella forma del teor. 1 del n" 16 si traduce projettivamente in ciò che 

 le perpendicolari ad una stessa retta concorrono in un punto, che può essere reale 

 projettivo; la quaterna formata da due punti simmetrici rispetto a una retta r, 

 dal punto d'incontro (reale o projettivo) della loro congiungente colla r medesima e 

 dal punto di concorso delle ±r e certamente di punti distinti, e considerazioni notis- 

 sime mostrano che essa è una quaterna armonica. Poiché tutte le quaterne armoniche 

 sono fra loro projettive. resta provato in generale che non esistono quaterne armo- 

 niche che si contraggano in tre soli punti distinti. 



All'opposto, seguendo passo passo le considerazioni che si faranno ai n^ 31 e 34, 

 è facile vedere come non si cada in contraddizione coi nostri postulati fissando il 

 numero n del precedente discorso a 3 e si possa cosi ottenere una metrica in cui 

 ogni retta possiede tre soli punti (reali) distinti. 



22. Le METEicHE PROJETTIVE. — Istituita la geometria projettiva, si stabilisce, 

 con ragionamenti noti, la dipendenza da essa della geometria metrica definita nel 

 Cap. I (1). Limitandoci ad accennare brevemente del piano, ricorderemo l'osservazione 

 delle linee precedenti, le perpendicolari ad una retta concorrere in un punto che si 

 potrà dire, secondo una locuzione comune, il polo assoluto di quella retta. Il ribalta- 

 mento intorno ad una retta è allora una omologia armonica che ha per asse la retta 

 e per centro il suo polo assoluto. Il polo assoluto di una retta è interamente deter- 

 minato da due perpendicolari a questa. Se allora due rette hanno due perpendicolari 

 comuni — (hanno lo stesso polo assoluto) — tutte le perpendicolari all'una sono per- 

 pendicolari all'altra; e il loro punto di concorso è polo assoluto di tutte queste per- 

 pendicolari comuni, e il loro comune polo è pure polo di ogni retta per questo punto 

 di concorso. Se al contrario due rette hanno una sola perpendicolare comune, a due 

 a due le perpendicolari a questa non hanno altre perpendicolari comuni: i poli asso- 

 luti di tutte queste rette sono distinti fra loro. — Generalmente si dirà perpendi- 

 colare ad una retta anche una retta projettiva che passi pel polo assoluto di quella. 



Se due rette m, n s'incontrano in un punto che non sia polo assoluto di tutte 

 le perpendicolari a una di esse, i loro poli assoluti sono distinti, perchè si è mostrato 

 che .se due rette hanno lo stesso polo tutte le perpendicolari a ciascuna di esse hanno 

 per polo assoluto il loro punto di concorso. La congiungente i due poli è perpendi- 

 colare comune alle due rette ; e nessun'altra perpendicolare comune le due rette pos- 



(') Cfr. Pasch, 1. e, §§ 19, 20. La differenza essenziale fra le presenti considerazioni e quelle del 

 Pascli sta in ciò che noi non ammettiamo tutte le rette congruenti fra loro (cfr. il Grundsatz, li, 

 p. 104 del Pasch e anche p. 147 linee 5-6). 



