45 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 325 



sono avere. — Suppoiiiaino che lo duo rette m e n siano perpendicolari: il prodotto 

 dei ribaltamenti intorno a »< e n (semirotazione intorno ad 0, se è reale — v. 11 

 t. 1) converte in se quella retta e ne tien fermi tutti i punti (dr. 11 t. 1), quindi 

 si potrà chiamare ribaltamento intorno ad essa, anche se la retta non è reale. 



Sia ?• un'altra retta qualunque per 0; il ribaltamento intorno ad essa converte 

 »t ed H in altre due rette per fra loro perpendicolari e il prodotto dei ribaltamenti 

 intorno alle rette trasformate non potrà differire dalla precedente congruenza (come 

 si vede distinguendo i due casi di reale — Ut. 3 — e non reale — la retta 

 dei poli è reale: 11 t. 1 — ); quindi il ribaltamento intorno ad r converte in se la 

 retta dei poli di m ed w, ed il polo di r sta su quella retta: sia R. La congiun- 

 gente R con è perpendicolare comune arco; quindi il suo polo è il punto 

 d'intersezione (reale o projettivo) di r e o: sia r' = x{RO) e R' il suo polo, interse- 

 zione di r e 0. Il punto R' non potrà esser polo di altre xr: se infatti ri fosse 

 un'altra perpendicolare a r col medesimo polo R' si potrebbe ragionare su r e ri 

 come or ora su m ed n e concludere che o è anche perpendicolare a tutte le rette 

 per il punto Oi d'incontro di r e ri ; ma jB' sarebbe allora polo di tutte le perpen- 

 dicolari ad r, e così o sarebbe perpendicolare ad ogni retta del piano (incontrante r 

 in un punto qualunque — reale o projettivo — fuori della o medesima). Ma allora i 

 poli di tutte le perpendicolari a m (o ad n) starebbero su o e coinciderebbero col 

 suo punto d'incontro con m (od n) medesima, contro l'ipotesi. Adunque raccogliendo: 



" Se sopra una retta un punto è polo assoluto di due perpendicolari a questa 

 " retta, esso è polo assoluto di ogni perpendicolare alla retta medesima, e tutte le per- 

 " pendicolari ad una medesima retta — qualunque — del piano hanno lo stesso polo. 



" I punti del piano che sono poli assoluti di tutte le rette per uno. stesso punto 

 " appartengono ad una stessa retta, reale o projettiva, perpendicolare comune a tutte 

 * quelle rette. Questa retta è unica e mai reale nel caso sopra citato; in ogni altro 

 " caso varia univocamente col punto considerato e, quand'anche essa sia projettiva, 

 " questo punto deve considerarsi come il suo polo assoluto „. 



Se >• e una retta qualunque del piano, r' una sua perpendicolare, che la incontri 

 in 0, R' il polo assoluto di questa (su r), e R' possono chiamarsi pww^i associati (^). 

 " Cori'ispondentemente ai due casi distinti nel pi^ecedente enunciato, può supporsi che 

 " uno stesso punto sia associato a tutti i punti della retta ovvero ad un unico: se 

 " avviene il primo caso su una retta del piano, lo stesso avviene sopra ogni altra, 

 " fatta eccezione per la perpendicolare comune a tutte le rette del piano: se avviene 

 " il secondo caso su una retta del piano non perpendicolare ad ogni altra, o su due 

 " diverse rette projettive (vale a dire sopra rette di cui una non possa essere la sud- 

 " detta retta eccezionale) si verificherà pure il secondo caso sopra ogni altra retta: 

 " il gruppo costituito da due punti, dal loro punto medio e dal punto associato a 

 " questo è armonico „. 



Si ha così la distinzione fra le metriche a polarità assoluta degenere (parabo- 

 liche) e a polarità assoluta non degenere. Esse potranno poi essere la metrica di 

 Euclide, di Lobacefski o di Riemann, ovvero le metriche poste recentemente in evi- 



(') VerknUpfte secondo il Pasch. 



