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FONDAMENTI DELLA METRICA PKOJETTIVA 



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CAPITOLO TIT. 



SAGGIO SULL'INDIPENDENZA E SULLA CAPACITÀ DEI POSTULATI. 



§ 1. — Sull'indipendenza dei postulati I-XXI. 



23. — In questo § dimostrerò mediante esempì l'indipendenza ordinata della 

 massima parte dei postulati ammessi nel Cap. I. Condizione logica primordiale a cui 

 deve soddisfare un qualsiasi sistema di postulati è che con esso non si enuncino pro- 

 prietà di enti di cui non si sia dichiarata l'esistenza: i postulati che enunciano questa 

 esistenza sono allora, per lor natura, indipendenti dai rimanenti, e tale indipendenza 

 non potrà esser maggiormente chiarita da qualsiasi esempio. Sono cosi senz'altro 

 messi fuori di discussione i postulati : I — esistenziale della classe dei punti — , 

 II — esistenziale di una relazione fra coppie di punti — , XVI — che enuncia l'esi- 

 stenza di un punto fuori d'una retta — , XX — che enuncia l'esistenza di un punto 

 fuori d un piano — . 



24. I POSTULATI GENERALI DELLA CONGRUENZA (III-IX). — Finché si afferma (li) 

 che la congruenza è una relazione fra le coppie di punti, non si distingue tal rela- 

 zione da alcun'altra tra coppie qualsiansi di elementi, onde certamente sarà ordina- 

 tamente indipendente dagli altri il primo postulato che ne assegni una qualsiasi pro- 

 prietà, qui il post. IH. 



A mostrare l'indipendenza ordinata dei rimanenti postulati della congruenza, 

 valgano i seguenti esempì : 



Post. IV. — Si interpreti " punto „ in " numero intero e positivo „ e si dica 

 " nb ^ ed „ quando " a'' = c'' „; sarà bensì e" = a'' (HI), ma sarà generalmente b"^=d\ 



Post. V. — Si interpreti " punto „ in " numero intero e positivo „ e si dica 

 " ab = ed „ quando « X ^ = c X saranno soddisfatti i postulati III, IV, non il V. 



Post. VI. — Si interpreti " punto „ in " punto euclideo „ e si dica " ab =. ed „ 

 quando " per le coppie ab, ed passano due rette parallele „ : saranno soddisfatti ì 

 post. III-V, non il VI. 



Post. VII. — Si interpreti " punto „ in " punto euclideo , e si dica " ab ^ ed „ 

 quando " qualunque retta contenente una delle coppie è perpendicolare a qualche 

 " retta contenente l'altra , ; saranno soddisfatti i primi 6 postulati, non il VII, 



Post. VIII. — Non sarà soddisfatto, ma saranno verificati tutti i precedenti 

 quando si interpreti " punto ., in " numero con segno , e la relazione " ab = ed „ 

 nella relazione " a — b = e — d 



Post. IX. — L'indipendenza di questo postulato dai precedenti dipende essen- 

 zialmente da ciò, che in esso per la prima volta si considerano sistemi di più di due 

 punti. Si limiti il campo di punti da chiamarsi spazio, interpretando la congruenza 

 fra coppie, per es., nell'ordinario senso euclideo, e in infiniti modi si potrà negare 

 tal postulato, rimanendo verificati i precedenti : nel modo piìi semplice, si chiami 

 spazio l'aggregato dei punti interni a un contorno chiuso qualsiasi. — Va notato 



