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BEPPO LEVI 



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che i postulati Vili e IX si combinano per esprimere la proprietà transitiva della 

 congruenza. 



25. I POSTULATI DEL PUNTO MEDIO d'una COPPIA. — JPost. X. — Si interpreti 

 " punto „ in " vertice di un dato rettangolo abcd ^, " congruenza fra due coppie „ 

 nell'ordinaria " congruenza euclidea „ ; non sarà verificato il post. X, bensì tutti i 

 precedenti. 



JPost. XI. — Sia " punto „ l'elemento d'una classe qualsiasi, che contenga al- 

 meno 4 elementi ; si chiamino fra loro congruenti tutte le coppie di punti distinti ; 

 e fra loro congruenti, ma non alle prime, tutte le coppie di punti identici ; sarà veri- 

 ficato ciascuno dei post. I-X, non l'XI". 



26. I POSTULATI DELLA CATENA. — Post. XII. — In uno spazio euclideo sia fis- 

 sata una giacitura tt, e si dicano congruenti le coppie che determinano segmenti 

 uguali e ugualmente inclinati a detta giacitura. E immediato che i postulati della 

 congruenza di coppie (III-VIII) sono verificati. 



Se ab = a'b' la coppia ab si trasforma nella coppia «'i' mediante una traslazione, 

 una rotazione intorno a una retta _ltt e, può darsi, una simmetria rispetto a un punto. 

 Per effetto di queste trasformazioni, ogni sistema di punti ed ... si trasforma in un 

 sistema di punti c'd' ... tale che abcd ... = a'b'c'd' ... Per stabilire però la completa 

 validità del post. IX occorre analizzare se, con queste sole trasformazioni, un sistema 

 di punti si muti in ogni sistema congruente ad esso. Ciò equivale a chiedere se esi- 

 stano sistemi congruenti aventi punti omologhi comuni , e come si passi dall' uno 

 all'altro. 



Se abc sono tre punti qualunque, esiste in generale uno e un solo punto c' tale 

 che abc = abc': i due triangoli sono simmetrici rispetto al piano passante per aè e ìtt. 

 Eccezioni si hanno: 1° quando rtè±TT; i punti c' tali che abc ^ abc' sono tutti i punti 

 di una circonferenza di asse ab. — 2° quando il triangolo abc sta in un piano ±tt, 

 e ab non è parallelo a tt, e quando abc sono allineati; il punto c viene a mancare. 

 — 3° quando il triangolo abc sta in un piano xtt ed ab\\Ti\ esiste ed è unico il 

 punto c', ma c e c' sono simmetrici rispetto ad ab ; — 4*^ quando aè!|TT e il piano abc 

 non è J-TT nè ||tt; i punti c' sono 3, cioè il simmetrico di c rispetto al piano ±Tt per ab 

 e i simmetrici di c e di questo punto rispetto alla retta ab (o rispetto al piano ||tt 

 per ab) [se il piano abc fosse |lTr si rientrerebbe nel caso generale]. 



Si vede cosi che, quando esiste un punto c tale che abc = abc', la prima figura 

 si porta nella seconda mediante una simmetria rispetto a un piano j_it, o rispetto 

 a un piano ì|tt, o a una retta ||Tt (prodotto questa delle due prime simmetrie); e tutte 

 queste trasformazioni mutano ancora ogni sistema di punti de ... in un sistema d'e' ... 

 tale che, secondo la nostra definizione, abcde ... = abc'd'e' ... . Onde si ottiene che il 

 post. IX è verificato per ogni ampliamento di un sistema di tre punti. 



Se abcd sono quattro punti, non esiste, in generale, un punto d' tale che abcd=abcd' , 

 perchè d e d' dovrebbero essere simmetrici rispetto ai piani ±tt per ab,ac,bc; un 

 punto d' esisterà se il piano abc e J-ti e d non sta in esso, e sarà il simmetrico di d 

 rispetto a questo piano ; esisteranno inoltre punti d' se abc sono allineati, negli stessi 

 casi e nello stesso modo che esistono punti d' tali che abd' = abd. Onde ancora si 



