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FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



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verifica il post. IX pei sistemi che derivano da un ampliamento di una quaterna di 

 punti. E ripetendo convenientemente lo stesso ragionamento, si conclude senza dif- 

 ficoltà per induzione per ogni sistema di punti. 



Il post. X è verificato dal punto medio della coppia nel senso euclideo, e dai 

 punti della perpendicolare in questo punto ad ah nel piano parallelo alla giacitura rt; 

 inoltre se «è-Tr, ovvero ah\\n verificheranno pure il post. X tutti i punti del piano 

 perpendicolare al segmento ah nel suo punto medio. Però non da tutti questi punti 

 sarà soddisfatto il post. XI, perchè, se c è uno di questi punti e il piano abc non 

 è J-TT, si chiami d il simmetrico di a rispetto al piano ±Tr per bc, sarà abc = dbc bdc : 

 quindi i punti che, rispetto ad una data coppia ab si possono assumere come punti c 

 per soddisfare ai post. X e XI, sono : il punto medio del segmento ab se questo è 

 obliquo a tt, i punti della ±tt per questo punto medio se ab n, finalmente tutti i 

 punti del piano ±ab nel suo punto medio se aè-Lir. 



La catena di una coppia di punti la cui congiungente euclidea sia ^tt è dunque 

 tutto lo spazio, ma in essa non è verificato il post. XII, perchè, se è è un punto della 

 retta parallela alla giacitura tt e perpendicolare ad un segmento ac obliquo a tt nel 

 suo punto medio, è ab = he, senza che b sia punto medio fra a e c. 



Post. XIII. — Se però si costruisce la metrica analoga alla precedente sul piano 

 euclideo, anziché nello spazio (assumendo quindi come congruenti le coppie che 

 determinano segmenti uguali e ugualmente inclinati ad una direzione fissa p) si rico- 

 noscerà tosto che anche il post. XII risulta soddisfatto. Non esiste, infatti, allora 

 alcun punto ni' =!= m tale che abm = abtn', a meno che il segmento ab non sia per- 

 pendicolare parallelo a p. Se ora ab = bc e se abx o \\p, tale sarà pure bc e i tre 

 punti abc saranno allineati onde cea/6; se poi ab = bc ed ab è obliquo a, p, non esiste, 

 come si osservò, un punto c' tale che acb'—ac'b, onde ancora cealb- 



Ma, assegnata la coppia ab, saranno simmetrici di a rispetto a è i tre vertici 

 residui del rettangolo avente un vertice in a, il centro in ^> e due lati paralleli (e 

 due perpendicolari) a p. Non sarà dunque verificato il post. XIII. 



27. Il POSTULATO XVII del piano. — Si ricordi che due figure uguali di un 

 piano euclideo si sovrappongono quando si portano l'uno sull'altro due loro triangoli 

 omologhi abc, a'b'c'. E questa sovrapposizione può ottenersi mediante la traslazione a'a, 

 alla qnale, se b' ne è portato nel punto b"^b, si farà seguire una simmetria rispetto 

 alla congiungente a col punto medio di bb" se abb" non sono allineati, ovvero una sim- 

 metria rispetto ad a se abb" sono allineati. Se, dopo ciò, la posizione c'" di c' non 

 coincide con c, basterà operare ancora la simmetria rispetto alla ab. 



Ciò posto, si immagini il piano riferito ad un sistema di coordinate cartesiane 

 di cui siano X ed Y gli assi, e vi si considerino tutti i punti le cui coordinate sono 

 numeri razionali i cui denominatori hanno per fattori primi solo somme di due qua- 

 drati (fra gli altri fattori possano quindi contenere tutte le potenze di 2 = P -|- P). 

 Fra questi punti esiste evidentemente il punto medio di ogni coppia di punti del campo, 



e il simmetrico di un punto qualunque rispetto a un altro j^perchè se (aP), (ajP,) sono 



due punti, il loro punto medio è ("~|^'» ^~2~^) ^ simmetrico del piano rispetto 

 al secondo, (2ai — a, 23i — P) ; a meno di fattori 2 i denominatori di queste coordi- 



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