330 BEPPO LEVI 50 



nate non posseggono quindi altri fattori che quelli dei denominatori di a, 3, oi, 3i 

 Inoltre il simmetrico del punto (Eri) rispetto alla retta dei punti (a3), (ajPi) è 



/ 5 , (p -p,)[nfa-a.) - £(p-P,)-(ap,-a ,p)] o (a - a.) [r](a - a,) - S(P— P,) - (api-OiP)] \ 



+ (a-a,)^ + (p-P,f ' ^ (a-a,)' + {p-p,)^ / 



Il denominatore del termine — (g Jair-)-(p_p,)8 — - P^'^^"* ^^^^^^ 

 zione ai minimi termini, ha per fattori i denominatori di 3 — Pi, di ti(ci — cxi) — 

 g(p — p^) — (aSi — a^S) e una somma di quadrati dei numeratori di a — e di P — 3i 

 previamente ridotti allo stesso denominatore. Ciascuno dei primi fattori porterà nel 

 denominatore soli fattori primi somme di due quadrati. Quanto all' ultimo occorre 

 ricordare che una somma di due quadrati ha per soli fattori primi somme di due 

 quadrati, oltre i fattori che fossero comuni ai due addendi. Ma si supponga che sia 

 m il fattor comune ai numeratori di a — e di p — Pi (solo fattore che si debba 

 ritrovare comune ai due numeratori dopo riduzione delle due espressioni al loro 

 minimo comun denominatore) e sia m' il prodotto degli eventuali suoi fattori primi 

 non somme di due quadrati. Ciascun denominatore di a, 3, a^, . . . sarà primo con m'. 



Si ponga a — a^ = m'^, p — R^r^m'y; risulta api — = w' ( 81 — Oi ] e 

 ciascuno dei numeratori di a — a^, 3 — 3i, «Pi — a^S conterrà il fattor m'. Cosi la 

 riduzione ai minimi termini della frazione totale considerata condurrà a ridurre il 

 fattore m"^ proveniente nel denominatore dall'espressione (a — a')^-}- (3 — p')^, col fat- 

 tore medesimo m'^ che nel numeratore di (P — Pi)[n(a — 0^)— E(P — PO — («Pi" «1'^)] 

 necessariamente si presenta. 



^ , ... r u f • («-«■: [n (a-«r)-s(g-P.)-(«Pi-«iM . 



Le stesse osservaz. si ripetono per 1 altra trazione (q_a^)2_j_(g_p^)^ ' 



onde si vede che il campo di punti considerato contiene il simmetrico di ogni suo 

 punto rispetto ad ogni sua retta : la precedente osservazione relativa all'esistenza dei 

 punti medi e simmetrici rispetto a due punti dati, dimostra ch'esso contiene il sim- 

 metrico di un suo punto qualunque rispetto a ogni suo punto; e poiché la trasla- 

 zione si effettua analiticamente per semplice somma e differenza di coordinate, si 

 rileverà in modo analogo che ogni traslazione che porti un punto del campo in un 

 altro, trasforma tutti i punti del campo in punti del campo medesimo: " Il campo 

 " considerato è chiuso rispetto all'insieme delle traslazioni e delle simmetrie che tras- 

 " formano un suo punto in un altro suo punto e, riguardo alle simmetrie, che hanno 

 " per asse per centro una retta un punto del campo „. 



Si chiami spazio della nostra geometria il campo ora definito, e vi si definisca 

 la congruenza al modo euclideo : le precedenti ossei'vazioni circa le trasformazioni di 

 uguaglianza nel piano euclideo mostrano che in esso saranno verificati tutti i postu- 

 lati ammessi fino al XVI incluso. 



Ora, secondo la definizione adottata pel piano (n° 8), il punto (1, 1) appartiene 



al piano p{{00) (07) (70)), perchè sta sulla proiettante dal punto (00) il punto (|,^) 

 della r((07) (70)); ma non appartiene a p( (00) (o|j (70) j , perchè le rette (euclidee) 



