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FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



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che proiettano il punto (1,1) dai punti (0,0), ^0, ^ j, (7,0) segano rispettivamente 

 le rette euclidee che contengono t( |)(70)), r((00)(70)), rj(00)(o|)) nei punti 

 (ri' fi ) ' (f ' ^) ' (^'1^ appartengono al nostro campo. 



28. Il POSTULATO XXI dello spazio. — L'indipendenza di questo postulato dai 

 precedenti è evidente quando solo si osservi che esso ha la particolar funzione di 

 limitare a 8 il numero delle dimensioni dello spazio. — Riguardo a questo postulato 

 non è forse fuor di luogo l'osservare un certo qual suo carattere diverso dai rima- 

 nenti : essi riguardano generalmente soltanto proprietà della congruenza, questo aft'erma 

 l'esistenza di una determinata intersezione: termine di passaggio fra l'uno e l'altro 

 genere di postulati è il post. XVI (e il XXII). Sarebbe possibile ridurre il conte- 

 nuto di questo postulato alla forma medesima dei post. XVI, XVII, XVIII, sosti- 

 tuendo ad esso i tre seguenti : 



Post. XXI'. — Se ahcd sono quattro punti qualunque non complanari, 

 ogni altro punto appartiene ad una almeno delle rette che da ciascuno di 

 questi punti projettano i punti del piano dei rimanenti tre. 



Post. XXI" e XXr". — Esiste una ed una sola congruenza che tien fissi 

 tutti i punti di un piano qualunque tt e sposta qualche punto dello spazio. 



Dal post. XXr si deduce infatti — valendosi all'uopo della proposizione analoga 

 già dimostrata pel piano — che la congruenza postulata in XXI" non può lasciar 

 fissi punti aderenti a tt. D'altronde XXI"' dimostra che la congruenza medesima è 

 involutoria, e permette quindi di definire rette e piani perpendicolari a tt e di dimo- 

 strare, per la simmetria relativa a tt, le proprietà analoghe a quelle stabilite nel n° 10 

 per la simmetria piana. Se due piani (Jet hanno a comune un punto P si scelga 

 un punto il/ qualunque aderente a tt, e da esso si conducano le perpendicolari a cr e t: 

 la perpendicolare da P al loro piano è comune ai due piani dati. 



§ 2. — Riduzione del postulato IX della congruenza fra sistemi. 



Conseguenze. 



29. — Riduzione del postulato IX. — Il postulato IX (il quale non dififcrisce 

 dal Grundsatz Vili del Pasch) ha un ufficio essenziale che fu rilevato già nell'introdu- 

 zione. D'altra parte fu osservato alla fine del n° 22 che, lasciando a questo postulato 

 una illimitata validità, ne risultano ancora contraddizioni, sian pure lievi, alla metrica 

 Riemanniana. Ragioni queste perchè s'imponga la domanda se non sia possibile di 

 diminuirne la capacità, ricorrendo anche al sussidio dei postulati successivi. 



Osserveremo perciò che due uffici notevolmente distinti compie il post. IX nel 

 sistema delle nostre deduzioni. Per una parte esso conduce nel n. 3 alla definizione 

 della trasformazione per congruenza, e ricompare nei ragionamenti seguenti ogni 

 volta che si afferma l'esistenza di una tal trasformazione. Per altra parte, applicato 

 nel suo più esteso significato, esso permette di dedurre l'esistenza della trasforma- 

 zione per congruenza da un numero limitato di congruenze fra coppie di punti. 



