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BEPPO LEVI 



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La prima applicazione è chiaramente inessenziale : basterà definire fino da prin- 

 cipio CONGRUENZA una trasformazione univoca di un sistema di punti in un altro sistema 

 di punti, tale che coppie di punti corrispondenti siano congruenti e che, esteso il primo 

 sistema coli' aggiunzione di un punto, si possa analogamente estendere il secondo per modo 

 che esista una trasformazione fra i sistemi estesi, che goda delle medesime proprietà, ed 

 in cui i primi due sistemi si corrispondano come nella trasformazione primitiva. E si 

 dovrà soltanto mantener sospesa ogni affermazione circa l'esistenza di tali trasfor- 

 mazioni. 



Nel n° 4 si dovrà ancora intendere che i segni = nei post. X e XI abbiano il 

 significato definito nel n° 3, riserbando ai post. XI e IX' (che tosto si enuncerà) di 

 dar loro forza di affermazione d'una trasformazione. Invece tale affermazione dovrà 

 intendersi espressa col post, XVIII. 



I luoghi fondamentali in cui si applica il postulato nel 2" modo sono: 



1° Ogni qual volta — segnatamente nel § 2 del Gap. I — dalla congruenza 

 di due coppie si deduce l'esistenza di una trasformazione per congruenza che porta 

 l'una sull'altra. Casi tipici sono il t. 3 del n° 4, nella sua forma finale, e il t. 3 

 del n° 5. 



2° Il teor. 11 del n" 10 e il teor. 10 del n° 11 ove ricorre per dimostrare l'esi- 

 stenza di perpendicolari ad una retta che l'incontrino; 



3° Il n° 20 ove si applica a dimostrare che il prodotto di tre simmetrie rispetto 

 a piani per una retta è una simmetria. 



Come sia possibile svincolarsi da quest'ultima dimostrazione sarà mostrato nel 

 n° 33; cosi l'esistenza della perpendicolare di cui al n" 11 t. 10 fu, sotto altre ipo- 

 tesi, dimostrata come conseguenza dei postulati dello spazio col teor. 9 del n"* 12. 

 Anzi questo teorema ci dice di piìi che in ogni punto di una retta, in ogni piano 

 per essa, esiste la perpendicolare. Allora il teor. 10 del n° 11 risulta anch'esso im- 

 mediato, poiché: se M è una congruenza che converte in se un piano tt scambiando 

 i due suoi punti coerenti a, a', sia mea/a' e sia r la ±x{aa') in m; il prodotto np, 

 tiene fissi a e a' e quindi tutti i punti della x{aa'); adunque, o np^ e l'identità e 

 = ovvero pLPr = paa' e pi = Paa'Pr, cioè n è la semirotazione del piano intorno 

 ad m. 



Cosi, mediante i postulati dello spazio, si può ridurre il campo d'applicazione del 

 post. IX al 1° caso osservato, cioè a quanto è espresso dal 



Post. IX'. — Se due coppie di punti sono congruenti, esiste una tras- 

 formazione per congruenza che porta la prima coppia nella seconda. 



30. Sulle metriche projettive. — Si elimina così ogni limitazione al ricono- 

 scimento della geometria ellittica nel campo definito dai nostri postulati (cfr. le osser- 

 vazioni finali del n° 22), e, per quanto riguarda il postulato IX, al riconoscimento 

 in esso di una qualunque metrica projettiva rispetto a una quadrica o a una conica 

 assoluta. È essenziale pel seguito aggiungere alcune considerazioni al riguardo, e per 

 semplicità limiteremo il nostro esame alla metrica sopra un piano. 



Si chiami spazio l'insieme dei punti di un piano esterni ad una data conica non 

 degenere di punti reali, e si consideri in esso la metrica projettiva rispetto a quella 

 conica come assoluto. La metrica che cosi resta definita sulle rette del piano (inten- 



