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FONDAMENTI DELLA METRICA PRO.IETTIVA 



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dendosi qui per " retta „ la " retta del piano projettivo „ posto a base della defini- 

 zione della metrica) è iperbolica sulle rette che tagliano la conica, ellittica su quelle 

 che non la tagliano. Ma completamente eccezionali sono le tangenti alla conica. Su 

 di queste tutti i segmenti sono congrui, esiste cioè una omografia per cui la conica 

 è invariante ed in cui due punti assegnati su una tangente si trasformano in altri 

 due punti assegnati su un'altra tangente. Risultano di qui rilevantissime eccezioni 

 alle nozioni di punti medi e di simmetrici : di più rispetto alle tangenti mancano le 

 simmetrie: ogni trasformazione projettiva che trasformi la conica in sè ed abbia una 

 tangente come retta di punti fissi è l'identità. 



I postulati della nostra metrica escludono cos'i la metrica projettiva all'esterno 

 di una conica (o all'esterno d'una quadrica ellittica, o da una parte di una quadrica 

 rigata) se, con conveniente limitazione del campo, non si escludono le tangenti alla 

 conica (o quadrica) medesima. Di ciò ci occuperemo nel § 4. 



§ 3. — Il teorema di Desargues e il teorema di Pappo-Pascal. 



Nel presente § porteremo principalmente la nostra attenzione sopra i legami 

 fra i postulati del piano e le sue proprietà d'immersione in uno spazio superiore. 

 Risulterà, da quanto andremo dicendo, la indipendenza ordinata dei postulati metrici 

 del piano in unione al teorema di Desargues, del teorema di Pappo-Pascal e dei 

 postulati metrici dello spazio. Nel n° 31 si mostrerà cioè che è possibile un piano in 

 cui siano verificati i postulati I-XIX, ed in cui abbiano interpretazione i teoremi di 

 Desargues e di Pascal, senza che detto piano possa immaginarsi immerso in uno spazio 

 in cui si verifichino i postulati metrici ; e dal n" 32 risulterà poi che, anche ammesso 

 il teorema di Desargues, il teorema di Pappo-Pascal non può dimostrarsi col solo aiuto 

 dei postulati I-XIX. Le condizioni per la dimostrabilità di questo teorema saranno 

 studiate nel n*' 33. 



31. Un PIANO METRICO DI NOVE PUNTI E UN PIANO PROJETTIVO DI TREDICI. 



Un esempio notevole di un piano soddisfacente ai post. I-XIX è fornito dalla configu- 

 razione dei 9 flessi di una cubica piana e delle loro 12 rette. Siano aia2a^bib2b^CiC2C2 

 questi nove punti e si ordinino sulle 12 rette: 



Si pongano, per definizione, le congruenze {^) 



(') Si è disposto, con questa definizione, che siano congrue coppie di una stessa terna e fra 

 loro terne diverse per modo che ogni punto appartenga a due e due sole terne congruenti e che 

 le coppie di vertici d'un triangolo non appartengano a tre teme congruenti. Perciò, fissata arbitra- 

 riamente una terna rtinjrts, si è stabilito che siano congrue ad essa tre terne pei suoi tre punti e 

 non aventi punti comuni: ath^Cì, atb^Cf, a^bic^; e congrue ancora le terne che, con atnjrta hanno la 

 stessa proprietà rispetto ad una qualunque di queste tre; quindi le terne b^bibs, CtCjCa. 



C1C2C3 



ttibiCs 



bi02Ci 

 (t2b2<^2 



