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BEPPO LEVI 



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OiOa = agfla = a^a^ = ai^a = ^2^3 = 03(^1 = *i«3 = «s'^a = ^2^1 = <^ife2 ^ ^2^3 = ^3^1 = Cirtg = 



^ 02^3 = ègCj = C1C2 = C2r^ = C3C1. 



a^bi = iiCi = Ciffi = (72^2 = ^2^2 = '•2«2 = «3^3 = h<^3 = '^3«3 = «l^S = *^3''2 = (^2«1 = ^1^3 = 



= C3a2 - «2^1 = <^1«3 = «3^2 = hCi. 



Coppie dei due gruppi differenti siano incongrue fra loro. 



In questa metrica il punto medio di una coppia di punti coincide col simmetrico 

 di uno qualunque di essi rispetto all'altro, ed i tre punti completano una catena: la 

 retta della catena coincide colla catena medesima. Le rette si distinguono in due 

 sistemi : 



«i«2«3 , ^i^2^3 , , «lèaCg , byC2as , Cia^b^ 



e 



Oi^iCi , ffl2^2<-'2 , (hb^c-i , aib^c.2 . èiCgrta , c^a^b^ ; 



rette d'un medesimo sistema sono congruenti fra loro, rette di sistemi differenti in- 

 congrue. Per ogni punto passano due rette dell'un sistema e due dell'altro. 



In ogni triangolo due lati appartengono ad un medesimo sistema, il terzo appar- 

 tiene all'altro sistema. — Ogni ribaltamento intorno ad una retta ribalta in se la 

 retta congruente ad essa per ciascuno dei suoi punti scambiandone i due punti re- 

 sidui; le altre due rette per lo stesso punto projettano ciascuna un punto di un'altra 

 di queste rette ribaltate e quindi sono scambiate dal ribaltamento. Così nel ribal- 

 tamento intorno a r(«ièif'i) si scambiano i punti delle coppie 



«2C3 , ^2«3 , C2&3 



e si trasformano in se stesse le rette 



«2^361 b2Ci3Ci c^b^ai 



mentre si scambiano 



aJ)2C^ e rti«3a2 , ^iè2^3 6 bia^C2 , e ^1^36(2 



e si scambiano pure 



«2^2(^2 e CsO^bs 



le quali però non incontrano l'asse del ribaltamento. 



In questo piano è impossibile la configurazione dei triangoli omologici, la quale 

 contiene 10 punti, ma diviene possibile previo un conveniente completamento del piano ; 

 si ottiene tale completamento considerando come concorrenti in un punto ideale le 

 rette di ciascuna delle terne 





^^52^2^2 



) (^ìb^c^ 



«1*3^2 



*lC3«2 



<'1^3^2 





*lM3 



C1C2C3 



01&2C3 



biC2(l^ 



C^^2^3 



Chiameremo quei quattro punti rispettivamente d^, d, d^ , d' ; si dirà che essi 

 stanno in una retta ideale (retta all'infinito) : le rette della prima terna sono perpen- 

 dicolari alle rette della seconda, quelle della terza alle rette della quarta. 



