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FONDAMENTI DELLA METRICA PROIETTIVA 



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Una configurazione quale quella definita non si può notoriamente ottenere sopra 

 all'ordinario piano proiettivo reale; essa non può nemmeno aversi nel piano imma- 

 ginario, perchè le condizioni di collinearità ora stabilite, insieme con quelle prece- 

 denti relative alla configurazione semplice dei 9 flessi d'una cubica obbligherebbero, 

 per 63., ciascuno dei punti b^bib^ ad essere il coniugato armonico di rispetto agli 

 altri due. 



Ma essa può realizzarsi in un piano projettivo del tipo definito al n° 21, ove si 

 ponga « = 3. 



È ciò che mostra sufficientemente l'unita figura. 



o, = 0, 0; 0, 3; ... 

 6, =0, -2; 0, 1; ... 

 c, = 0, -1; 0, 2; ... 

 «o = l, 1; ... 

 6.-1, \; 1, 2;... 



c, = l,0; 1, 

 a, = 2, 2; ... 

 bj = 2, 0; 2,3; ... 



C3 = i 1; 2, 1;... 

 rf= |, 1; X, ... 

 . = 0, cc;l|;... 



d = 3. 3; ... 



_1 i 2 2 4 1 

 ' " 3" ¥' 3' 3' 3" 3 



Si riconosce cosi che il nostro piano può ancora immergersi in un conveniente 

 spazio projettivo in cui siano verificati i postulati XX, XXI — lo spazio costruito colle 

 coordinate projettivo al n'' 21, per n = ?> — , ma non si ptiò in questo spazio separare 

 un gruppo di punti che definiscano uno spazio metrico nel quale il nostro piano sia con- 

 tenuto. In ogni piano di questo spazio e per ogni suo punto passano infatti 4 sole 

 rette le quali (quando piano e punto appartenessero allo spazio metrico) dovrebbero 

 distribuirsi in due coppie di rette perpendicolari (^). Il ribaltamento intorno ad una 

 qualunque retta di una coppia dovrebbe scambiare quelle dell'altra coppia — ciò che 

 realmente avviene sul nostro piano di 9 punti — ; quindi le rette perpendicolari sa- 

 rebbero congrue fra loro. Se allora esistesse lo spazio metrico contenente il nostro 

 piano, la perpendicolare a questo in un suo punto, per es. aj, sarebbe congruente a 



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(') In un piano soddisfacente ai postulati 1 — XIX il quale non sia immerso in uno spazio mag- 

 giore, oppure sia immerso in uno in cui siano soddisfatti i postulati XX, XXI, passano per ogni 

 suo punto almeno quattro rette. Infatti la definizione di piano e il post. XVII hanno per conse- 

 guenza che per ogni punto del piano passano almeno tre rette. Ma a ciascuna di queste rette esiste 

 in quel punto e in quel piano la perpendicolare (n. 11 osservazioni finali e n. 12 t. 9); la relazione 

 di perpendicolarità essendo reciproca (n. 10 t. 6), se le rette per un punto nel piano sono in numero 

 finito, tal numero è pari ; dunque se > 3, almeno = 4. 



