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tutte le rette del nostro piano per quel punto, e queste sarebbero tutte congruenti 

 fra loro, mentre è condizione essenziale pel verificarsi dei postulati X, XI che ciò non 

 sia (e non è nella nostra definizione della congruenza). 



Si è mostrata cosi la possibilità di un piano metrico in cui siano soddisfatti i 

 postulati 1-XIX e (previo completamento di esso piano mediante convenienti punti 

 ideali) i teoremi di Desargues e di Pascal, senza che esso sia immergibile in uno 

 spazio in cui siano verificati i postulati metrici. 



Si rilevi come dai precedenti sviluppi risulti pure un saggio delle nuove pro- 

 prietà grafiche che possono verificarsi in spazi projettivi quali furono definiti al n° 21. 



Il piano metrico studiato provvede pure un esempio del caso d'eccezione riscon- 

 trato al lemma 6, del n° 9 : Pel punto aj passano le rette di tre punti xlaib^Ca) xlaib^c^) 

 ed inoltre le altre due t(«ièiCi) x{aia2a3) : i due punti della prima di queste diversi 

 da ai stanno sulla coppia di rette x{b2b3) 1(^203), i due punti della seconda diversi da «i 

 sulla coppia x{b.,C2), 1(^3^3)- 



Si noti infine come da questo esempio risulti la compatibilità dei post. I-XIX per 

 semplice enumerazione dei casi in cui essi possono applicarsi (essendo finito il numero 

 degli enti cui essi si riferiscono), indipendentemente da ogni considerazione aritmetica (i). 



32. Geometria piana parabolica non-pascaliana. — Si consideri un sistema 

 di numeri Desarguiani, non-Pascaliani, quale fu costruito dal sig. Hilbert {^) e che, 

 facendosi qui astrazione dalle proprietà di ordinamento, possiamo enunciare breve- 

 mente così: 



Si chiamino numeri tutte le funzioni costruite mediante due variabili t, s e gli 

 elementi di un campo di razionalità dato B, colle operazioni aritmetiche fondamen- 

 tali (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione a destra e a sinistra) e colla 

 convenzione che valga la relazione ts = — sf (in luogo di ts = st), mentre goda 

 della proprietà commutativa il prodotto di una qualunque delle variabili s, t per 

 ogni elemento del campo B, e la moltiplicazione entro il campo B medesimo. Si 

 chiami Q il campo numerico cosi costruito ; in esso non vale , per definizione, la 

 proprietà commutativa della moltiplicazione. — Se un campo numerico analogo si 

 costruisce, dopo aver ampliato il campo B (naturalmente mediante l'aggiunzione di 

 elementi che non siano t od s), il nuovo campo iV conterrà evidentemente Q. 



Noi potremo assumere come campo di razionalità B il campo di razionalità na- 

 turale, come campo ampliato B' quello che ha per base (1, (/a) dove a è un numero 

 non quadrato. Ogni numero di Q' sarà allora la somma di un numero di Q e del 

 prodotto di un numero di Q per |/ a. La proprietà distributiva della moltiplicazione, 

 la sua commutatività rispetto ai numeri di B' e la commutabilità dei termini d'una 

 somma rendono la cosa evidente finché alla formazione del numero considerato non 

 intervengano che le tre prime operazioni. Quando intervenga anche la divisione, si 



osservi che basterà considerare i numeri della forma -, dove n è un'espressione in- 



(') Si confrontino le considerazioni del sig. Hilbert nei Matite m ai is che Prohleme, " Gott. Nachr. „, 

 1900 e " Comptes rendus du 2"° congrès intern. des math 1900. 

 f ) L. e, § 33. 



