57 



FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



337 



tera la quale potrà quindi contenere Va solo quando è della forma |/aa o a 

 dove a e b sono numeri di Q. Ora si ha 



1 



1 



1 1 



« l-a(a|6V 



Vaa 



aa 



a+V ab 



Nell'una e nell'altra espressione il denominatore è liberato dal radicale j/a. 



Mediante il campo ^' si costruisca un piano numerico TT' chiamando punti le 

 coppie di numeri di Q' e i numeri di Q' medesimi (punti all' co); in TT' sarà con- 

 tenuto un piano numerico TT costruito allo stesso modo mediante i numeri di Q. Si 

 chiamino rette projettive in TT gli aggregati di punti che soddisfanno all'equazione 

 ax -{■ by -\- c = dove abc sono numeri di Q cui si aggiunga il punto all'infinito rap- 

 presentato da -a'*: si dica pure retta all'infinito l'insieme dei punti all'oc. Nel 

 piano n vale allora il teorema di Desargues e su ogni sua retta si può definire una 

 metrica parabolica, chiamando medio fra due punti il coniugato armonico del punto 

 all'infinito della retta rispetto alla coppia: ribaltamento della retta intorno a un suo 

 punto, la corrispondenza stabilita dalla involuzione che ha per punti doppi questo punto 

 e il punto all'infinito. 



Per estendere la definizione della congruenza a tutto il piano si fissino sulla retta 

 all'infinito due punti di TT' le cui coordinate siano numeri di Q', non di Q, che si 

 desumano l'uno dall'altro mediante lo scambio di |/a e — Va. Il coniugato armonico 

 di un punto all'infinito di TT rispetto a quei due punti [punti assoluti) apparterrà 

 ancora a TT. Si dirà associato ad una retta di TT il coniugato armonico del punto 

 all'infinito della retta rispetto ai due punti assoluti ; ribaltamento del piano intorno 

 a una retta l'omologia armonica che ha per asse la retta e per centro il punto ad 

 essa associato. 



Si assuma come piano (spazio) metrico il piano TT in cui si astragga dai punti 

 all'infinito, vi si definisca congruenza ogni prodotto di ribaltamenti intorno a una 

 retta sopra definiti: basta l'iprendere le osservazioni iniziali del n° 27 per ricono- 

 scere che saranno verificati tutti i nostri postulati I-XIX della congruenza sulla 

 retta e nel piano. — Ma non sarà verificato il teorema di Pappo-Pascal, poiché non 

 vale la proprietà commutativa della moltiplicazione nel campo numerico cui appar- 

 tengono le coordinate (^). 



(') Si può cioè considerare una sola specie di divisione , riconducendo la differenza fra le due 

 operazioni sempre nella forma del differente ordine dei fattori di un prodotto. Si ha infatti 

 «/è = a. '/è, fc/" = 6^'«- D'altra parte si ha a/«=l; applicando allora al rapporto la precedente 



decomposizione, si ha a/' . a = 1 e quindi a/'='/a: l'unico rapporto si potrà rappresentare con ^ e 



si avrà in generale : ^/^ = « è/* = ^- a. 



(■') La riduzione del denominatore alla forma 1 -)- 1 a?» mediante divisione per a e resa indi- 

 spensabile dalla non commutabilità dei fattori di un prodotto: si ha infatti, in generale, 



(m -\~ n) (ih — «) = >n* — mn -{- nm — n"; 



i due termini medi si eliminano se mn^nm; in particolare so m =\. 

 (^) Cfr. Hilbert, 1. c. 



Skkik II. Tom. LIV. 



