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Si mostra cosi sotto un aspetto ben diverso da quanto sia avvenuto nel n^ 28, 

 l'ufficio dei postulati dello spazio : là essi si riconoscevano come determinanti il nu- 

 mero delle dimensioni, qui si vede come essi compiano un effettivo ufficio metrico. 

 Il sig. Schur aveva appunto mostrato, come abbiamo ricordato al n° 20, che si può 

 dedurre dalla considerazione dello spazio una dimostrazione metrica del teorema di 

 Pascal : d'altra parte dalle ricerche dei signori Hilbert e Schoenflies (i) risulta che, 

 se veramente lo spazio deve intervenire in questa dimostrazione, ciò deve avvenire 

 pei suoi postulati metrici: e che sia realmente necessaria la considerazione dello 

 spazio è mostrato dal precedente esempio. 



Ne ciò contraddice alla dimostrazione data dallo Hilbert, mediante la sola geo- 

 metria piana euclidea, del teorema di Pascal : il sig. Hilbert fa uso perciò dell'ugua- 

 glianza inversa delle figure piane e della congruenza di tutte le rette fra loro : egli 

 medesimo ha dimostrato poi {^) che negata l'uguaglianza inversa delle figure piane, 

 si nega pure il teorema di Pascal. Nella nostra geometria si afferma ancora l'ugua- 

 glianza inversa delle figure piane (ribaltamento), si nega invece la congruenza di 

 tutte le rette del piano l'una coU'altra, ed ancora perciò viene a cadere il teorema 

 di Pascal. 



33. Deduzione del teorema di Pascal dall'esistenza di una polarità. — Le 

 cose accadono però molto diversamente se si esclude la metrica parabolica; se cioè 

 si suppone che due diverse perpendicolari ad una stessa retta non abbiano lo stesso 

 polo assoluto (v. n*" 22 {^) ). Si è infatti mostrato al n° 22 che, fatta questa ipotesi 

 per due determinate perpendicolari ad una retta, ne segue che essa è verificata per 

 ogni retta per modo che risulta stabilita una corrispondenza biunivoca involutoria 

 fra le rette del piano e i loro poli assoluti : noi proveremo che, ammesso in una forma 

 di 2^ specie (piano) il teorema di Desargues, e quindi la rappresentazione per coor- 

 dinate indicata ai n' 17-18, l'affermazione dell'esistenza di una polarità equivale al- 

 l'affermazione della proprietà commutativa della moltiplicazione, e quindi al teorema 

 di Pappo-Pascal. 



Sia difatti (E, ti) un elemento (punto) qualunque del piano, {x, y) il punto mobile 

 sulla retta polare di (E, r|). L'equazione di questa retta sarà 



dove a(Er)), i(Sri), '-(^l) sono funzioni da determinarsi di 5, r\. Se si fissano arbitraria- 

 mente i valori di x, y, l'equazione (1) dovrà essere soddisfatta da tutti e soli i punti (E, ri) 

 della polare di (xy). Si potrà dunque assumere come funzione c(Eri) il primo membro 

 dell'equazione della polare di (0, 0) ; se, per semplicità, si assume come triangolo di 

 riferimento un triangolo autopolare, si porrà quindi 



(') Schoenflies, Ueber den Pascalschen Schniitpunktsatz, ' Phys.-okon. Gesellschaft zu Konigsberg 

 i. Pr. „ 1903. 



(^) Ueber den Satz v. d. Gleichheit d. Basiswinkel im gleichschenkliges Dreieck, " Proc. of the London 

 Math. Society 35, 1908. 



(') Il n. 22 segue, nell'ordine naturale dell'esposizione, alla dimostrazione del teorema di Pascal: 

 ma è evidente come le considerazioni cui qui ci riferiamo siano da esso indipendenti. 



ailr])x + b{lr])y -f c(Eii) = 



(1) 



c(Er|) = c , costante. 



(2) 



