59 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 339 



Parimenti, ponendo x = uj(— oo), // = 0, si ottiene «(Eri) = come equazione della 

 polare di (luO); sarà quindi 



a(En) = PE (3) 



dove p è una funzione di E, r\ che non si annulla mai quando E =4= 0. 



E indicando parimenti con a una funzione di E, r| che non si annulla mai quando 

 ri #= 0, si avrà, in modo analogo dalla posizione x = ij — \u, 



b{lr^) = on. (4) 



Ciò posto osserviamo che dalla uguaglianza \a = a\ = a e dalla doppia pro- 

 prietà distributiva della moltiplicazione (n" 17) segue {n-\-\)a^~na-\-\xi = na-\-a.\ 

 e quindi, se si ammette che na = an, {n -\- l)a = a{n -|- 1): la moltiplicazione di un 

 numero qualunque per un numero intero naturale (che si ottenga cioè per semplice 

 addizione dal numero 1) gode dunque della proprietà commutativa : in particolare 

 questa moltiplicazione ha una sola operazione inversa, onde si definiscono in modo 

 unico i numeri razionali (del campo naturale); e nel prodotto di un numero qualunque 

 per un numero razionale i fattori sono ancora commutabili. 



Si immaginino allora sostituite in (1) le espressioni (2), (3), (4), e si pensino 

 attribuiti sl x, y valori razionali: la (1) potrà scriversi 



pxE -|- dì/x] -4- c = 0. 



Essa dovrà essere equivalente all'equazione della polare di (xy), sia: 



E + A-n + ^ = ; 



quindi 



pxk = (5y pxl = c. 



La seconda di queste equazioni mostra che p è tal funzione di E, ri che assume 

 lo stesso valore —-^il per tutti i punti della polare di uno stesso punto (xy) a coordi- 

 nate razionali. Se, d'altra parte, in (1), senza supporre la razionalità di x, si pone 

 y = 0, si ha 



pE;c -\- c = onde p£ = — cjx ; 



l'equazione della polare di un qualunque punto {xO) è della forma E = cost, e questa 

 costante può essere qualunque; essa potrà dunque essere equivalente ad un'equazione 

 della forma pE = — c/x solo se p è funzione della sola E. Il precedente risultato dice 

 poi che questa fmizione prende lo stesso valore in tutti i punti della polare di un 

 punto [xy) a coordinate razionali; ora se x=^0, su questa polare esistono (En) per 

 valori arbitrari di E : p è dunque una costante. 



Similmente, scambiando x ed y, si concluderà che anche a è una costante e l'equa- 

 zione della polarità diviene 



alx + br\y 4- c = (5) 



dove (I, h. c sono costanti. Ponendo in questa equazione successivamente // = Oex = 

 si hanno le equazioni delle involuzioni di punti reciproci che la polarità determina 

 sugli assi coordinati : 



Ix — — a c — k r)y = — i, <' = h. 



