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BEPPO LEVI 



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Affinchè queste corrispondenze siano involutorie è necessario che, qualunque 

 siano X, 



Poiché 1/a; = xl^ = ~ , «//•' — ^ sono arbitrari, h e k debbono dunque essere 



X y 



commutabili nel prodotto con qualunque altro numero. Lo stesso avviene allora per 

 ^e — \-: si chiamino ni, n; l'equazione (5) diviene 



fi le 



nix -\- mr\i/ -j- 1 0. (6) 



La condizione d'involutorietà impone che, in conseguenza di questa equazione, 

 sia soddisfatta la 



nxE + mijT] -)- 1 = 



0, per la trasponibilità dei fattori m, n in ogni prodotto, la 



X .ni-{- y . wti -|- 1 =z 0. (7) 



Ora, per una scelta conveniente di E, r| l'equazione (6) rappresenta ogni retta 

 ax-\~by-\-l = ; la (7) mostra che la stessa equazione può scriversi xa-\-yb~\-l = 0. 

 Si faccia a razionale, p. es. a = 1 ; dovranno essere equivalenti le due equazioni 



bi/ = — X — 1 y^ = — ^ — 1- ^3 



Ma X può scegliersi arbitrariamente in modo che — x — 1 rappresenti ogni 

 prodotto bi/, dunque generalmente 



bi/ = yb. 



Questa dimostrazione si applica evidentemente al caso parabolico solo quando, 

 la considerazione dello spazio a 3 dimensioni abbia dato luogo alla geometria della 

 stella ove rette e piani perpendicolari determinano precisamente una polarità. Quindi 

 un esempio analogo a quello del numero precedente non si potrebbe tentare nello 

 spazio. — Mostra inoltre un certo eccesso di considerazioni metriche nella dimostra- 

 zione del sig. Schur: in questa infatti si fa essenzialmente uso del fatto che la 

 mediana divide il triangolo isoscele in due triangoli uguali (uguaglianza degli angoli 

 alla base del triangolo isoscele) ; ora ciò è bensì contenuto nel teorema medesimo di 

 Pascal, ma nella presente dimostrazione non ne è fatto uso esplicito. 



Nasce altresì che in una geometria iperbolica o ellittica vale certamente il 

 teorema dell'uguaglianza degli angoli alla base del triangolo isoscele tosto che si 

 conosce il teorema di Desargues. 



§ 4. — Una metrica projettiva generale. 



34. Geometria non parabolica. — Conseguenza del teorema di Desargues è che lo 

 spazio proiettivo che si ottiene completando lo spazio metrico (n° 19) contiene tutti 

 i punti le cui coordinate sono funzioni razionali di quelle di un qualsiasi sistema di 

 punti di questo spazio medesimo. Il punto projettivo del n° 19 si può dunque assi- 



