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FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



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milare generalmente all'insieme dei rapporti {x^ : X2: x^: x^) di quattro numeri arbi- 

 trari di un determinato campo di razionalità Q. A differenza di quanto si disse al 

 n° 19, non si deve piìi distinguere qui fra rapporti a destra e rapporti a sinistra, 

 ammettendosi la proprietà commutativa della moltiplicazione. Si richiamino le defi- 

 nizioni di piano e retta projettivi stabilite al n" 19. 



Le osservazioni del n° 22 e del n. 30 mostrano che la più generale metrica 

 non parabolica soddisfacente ai nostri postulati (sostituito essendo il post. IX' al 

 post. IX) è la metrica projettiva rispetto a una quadrica presa come assoluto. Questa 

 quadrica non potrà essere degenere, perchè tutte le coppie di punti appartenenti 

 a due rette passanti pel vertice del cono quadrico assoluto (^), qualora un tal caso 

 si supponesse, sarebbero congrue fra loro e questa metrica contraddirebbe già ai 

 post. X, XI. D'altra parte già si osservò al n° 30 che deve escludersi che una tan- 

 gente alla quadrica possa possedere più di un punto reale (dello spazio metrico). 

 Infine sopra ciascuna retta il punto associato a un punto dato è funzione razionale 

 di questo e di due punti simmetrici rispetto ad essi; T equazione complessiva dei 

 punti uniti dell'involuzione dei punti associati, e quindi l'equazione della quadrica 

 hanno cosi coefficienti appartenenti al campo di razionalità Q. 



In questo numero studieremo più da vicino su di un esempio molto generale le 

 ulteriori condizioni imposte alla quadrica assoluta in relazione collo spazio metrico. 



Limiteremo l'esposizione al piano, il che non avrà altro effetto che di semplifi- 

 care alquanto la scrittura; l'estensione allo spazio sarà evidente, come si avrà cura 

 di rilevare. 



Nel piano projettivo sia fissata la conica assoluta 



a;2 + </2 = tz'^ (1) 



[per semplicità si adottano lettere diverse per le coordinate, al luogo degli indici 

 usati precedentemente]. 



Se a — {x'y'z), a" = {x"y"z") sono due punti qualunque, le coordinate del punto 

 di x{a'a") coniugato di n" rispetto alla conica (1) (punto associato ad a" sulla x{a'a")) 

 appartiene al campo di razionalità "^{x y' z' x" y" z" t) ; il punto a'" coniugato armonico 

 di a' rispetto ad a" e al suo associato [a" = a'/i-) apparterrà quindi ancora al campo 

 di razionalità ''3ì{x'y'z'x"y"z"t). Reciprocamente, dati a'a"a"', è individuato il coniugato 

 armonico di a" rispetto alla coppia a'a'" e fra le coniche della forma (1) ve n'ha 

 una sola rispetto alla quale a" e questo punto siano coniugati, ovvero sono tutte (e 

 allora la coordinata z di uno di questi punti è 0). Nel primo caso t è funzione 

 razionale delle coordinate di n'a"a"' ; il secondo si esclude perchè esso può verificarsi 

 solo per particolari posizioni dei tre punti. Concludiamo: " Mediante la costruzione 

 " del simmetrico di un punto rispetto a un altro si generano punti le cui coordinate 

 " appartengono al campo di razionalità generato dalle coordinate dei punti dati e 

 dal numero t, per modo inoltre che questo campo di razionalità è identico col campo 

 " di razionalità generato dai tre punti „. 



(') Che pel vertice del cono passino rette projettive che contengono rette metriche è evidente 

 ove si pensi che passano pel vertice le perpendicolari a un piano generico. 



