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BEPPO LEVI 



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I due punti b^, b^, coniugati armonici comuni ad a', a"e ai due punti d'interse- 

 zione della retta x{a'a") cdlla conica (1) hanno per coordinate {\x' -\-\nx", \y' -\-\xy", 

 \z' -f \xz") dove 



\ = ± |/ [X'^ 4- — tz'^) -f y"^—tz"'^) 



Esse appartengono quindi al campo di razionalità 



gt(.x' y' z' x" y" z" t / [x^ + y'^ — tz"'} {x"^ + /'^ — Is^). 



Almeno uno di questi punti è da definirsi come punto medio della coppia a'a" . 



Del pari la polare di un punto a' = {x'y'z') rispetto alla conica (1) ha i suoi 

 coefficienti nel campo di razionalità '^{x'y'z't) e reciprocamente le coordinate del polo 

 d'una retta di coefficienti ab c appartengono al campo di razionalità 9ì(aèc^). Così, se 

 si definiscono ribaltamenti le omologie armoniche che hanno centro e asse coniugati 

 rispetto alla conica, l'asse e il centro d'omologia nel ribaltamento che scambia a e a" 

 sono pure nel campo di razionalità 



n{x' y' z x" y" z" t \/[x"'-Y y"' — tz"'){x"^ + y'"^ — tz"^)) 



e il trasformato di un punto a'" = (x"'y"'z"') appartiene al campo generato dal pre- 

 detto e da queste coordinate. 



Ciò posto, fissato un campo di razionalità fondamentale R, lo si allarghi mediante 

 l'aggiunzione di un eleinento t, positivo, non appartenente, nè esso ne le sue potenze, 

 al campo medesimo: per es. sia t un parametro; lo si allarghi ancora mediante l'ag- 

 giunzione di tutti i radicali della forma )/ Q dove Q e un'espressione della forma 



+ t^Zx); + ...j - t |ie; -f t'Zcpl + ...j 



dove 5,, r]j, 6j, cp„ ... sono funzioni intere del campo i2, di ^ e di altri radicali 

 della stessa forma, e tale inoltre che ogni radicando Q contenga sempre termini indi- 

 pendenti da ogni altro radicale (termini razionali in t) e che fra questi, quello di 

 grado minimo in t sia positivo o negativo secondochè ha grado pari o dispari. Occorre 

 notare — ed è essenziale perchè coi radicali \/ Q si possa costruire un campo di 

 razionalità — che il prodotto di due di questi radicali è un radicale della stessa 

 forma. Infatti un tal prodotto è della forma |/P dove 



= + t'Zx],*^ + ...j - 1 (ie.*2 -f t'i.cp*-2 + ...^ 



e dove E,* rappresenta ogni prodotto della forma r|, * ogni prodotto delle forme 

 ^t^i , ^/li, ecc. Ciascuna delle espressioni Ei*, r)^*, ... sarà allora la somma di 



un polinomio nel campo di razionalità t) e di termini affetti da radicali della 

 forma di quelli ammessi nelle H,, r),, e prodotti di questi radicali. 



L'addendo polinomio di li* produce in Si*^ come termine d'ordine minimo in t 

 uno d'ordine pari e coefficiente positivo. I termini affetti da radicali si possono sup- 



