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FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



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porre ridotti in precedenza in Ei* ponendo ciascuno di questi in evidenza nella somma 

 di tutti i termini che hanno a fattore lo stesso radicale, e raccogliendo così questa 

 somma in un termine unico. Allora tali termini potranno produrre in Ec*^ termini 

 indipendenti da radicali a solo mediante i loro quadrati, e se si ammette verificato pei 

 radicali contenuti nelle espressioni E,, E/ che i loro prodotti a due a due sono ancora 

 della forma (/ tali quadrati produrranno termini d'ordine minimo con coefficiente 

 positivo negativo secondochè il loro ordine in t è pari o dispari. Si può così rite- 

 nere dimostrato che i tei-mini polinomi nelle espressioni Ei*^ soddisfanno alle condi- 

 zioni imposte ai termini polinomi dei radicali [^Q. Le stesse osservazioni si ripete- 

 ranno per le espressioni Ha*", si conclude che i termini indipendenti da radicali 

 in P, d'ordine minimo in t non possono fra loro ridursi (perchè in tutti i termini di P 

 hanno lo stesso segno) e sono positivi o negativi secondochè il loro ordine è pari o 

 dispari. Si deve notare che nessuna eccezione può presentarsi qualora anche Ei*, ti>*, ••■ 

 non possedessero termini indipendenti da radicali, perchè per ipotesi E,, E;', ... con- 

 tengono sempre, nei loro l'adicali, una parte polinomia — indipendente cioè da ulte- 

 riori radici — ; lo stesso avviene dunque pei loro prodotti e l'elevazione a quadrato 

 avrà per effetto di produrre in Ei*^, ... termini polinomi derivanti da questi. 



Si chiami K il campo di l'azionalità ora definito; si chiami l'insieme dei punti 

 le cui coordinate xyz appartengono al campo K. Le cose dette precedentemente mo- 

 strano che tutte le trasformazioni di una metrica proiettiva rispetto alla conica (1) 

 come assoluto, trasformano tutto S in se stesso tosto che trasformino in punti di S 

 tanti altri punti di S quanti sono necessari a determinarle : le simmetrie rispetto a 

 un punto assegnato trasformano infatti in sò il campo di razionalità su cui operano ; 

 quelle invece che debbono scambiare due punti assegnati allargano questo campo 

 mediante l'aggiunzione di un radicale della forma 



/ {x'^ + y'^ — tz ') (x'"^ + y"^ — ìz"^) = 



e questo radicale è della forma ^Iq, per le considerazioni medesime fatte riguardo 

 al prodotto di due radicali della forma ^Q. 



La conica (1) non possiede punti in S. Da (1) si ricava infatti x = ± \/tz^ — ; 

 si suppongano y e z espressioni intere appartenenti al campo K: sempre per le con- 

 siderazioni fatte riguardo alla precedente espressione P si concluderà che in y- e in 

 non può mancare ogni termine razionale: ed ancora il loro termine razionale d'ordine 

 minimo è positivo o negativo secondochè il suo ordine è pari o dispari. 



Neil' espressione tz^ — y^ un termine razionale d'ordine minimo in t non può 

 dunque mancare e sarà negativo o positivo secondochè è d'ordine pari o dispari. 

 ^^tz^ — «/2 uQji dunque essere un polinomio . uè un radicale della forma |/(p : 

 X non appartiene allora al campo K. 



Se ora a è un punto di S, i coefficienti dell'equazione della sua polare rispetto 

 a (1) appartengono a K: non potranno allora appartenere a K i coefficienti delle 

 equazioni delle tangenti da a alla conica (1), altrimenti apparterrebbero ad S i loro 



