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punti di contatto, intersezioni colla detta polare; quelle tangenti non contengono 

 dunque punti di S altri che a. 



Il campo S ora definito ci dà modo di esemplificare in modi diversi la generale 

 metrica projettiva soddisfacente ai nostri postulati. Si ritenga infatti t un para- 

 metro, e non si definisca in modo alcuno un ordine negli elementi di K per modo 

 che non ci sia luogo a distinguere fra punti esterni ed interni ad (1): si potrà assu- 

 mere S come il nostro spazio metrico e si otterrà una geometria assimilabile alla 

 ordinaria geometria ellittica (^). 



Si fissi invece che R sia un campo di razionalità ordinato e, per es., lo si de- 

 termini nel campo naturale: si assuma per anziché un parametro, un numero 

 trascendente e accanto agli elementi di K si consideri il loro valore come elementi 

 del continuo numerico. Si chiami K l'insieme degli elementi di K il cui valor nume- 

 rico è reale e si pensino gli elementi di ^ordinati secondo questo valore medesimo. 

 I fatti noti nella geometria analitica permetteranno di distinguere i punti reali di S 

 in esterni ed interni alla conica (1) e di affermare che se due punti appartengono 

 alla stessa parte, il simmetrico dell'uno rispetto all'altro è reale ed appartiene a 

 quella parte e almeno uno dei loro punti medi è nelle stesse condizioni. 



Si può allora determinare il nostro piano metrico nell'interno della conica (1) : 

 si avrà una forma di metrica iperbolica in cui non esistono le parallele proprie da 

 un punto ad una retta (limiti fra le rette secanti e le non secanti). 



Si può infine determinare il nostro piano metrico nell'esterno della conica (1): 

 si avrà una metrica in cui le rette non sono tutte congruenti fra loro: per ogni punto 

 passano rette su cui si verifica la metrica ellittica, altre su cui si verifica la metrica 

 iperbolica : dato un angolo non esiste sempre un triangolo isoscele che lo abbia come 

 angolo al vertice. 



In ciascuno di questi piani metrici l'aggregato dei punti è numei'abile : è evidente 

 però che non è questa condizione essenziale delle metriche considerate. Basta infatti, 

 per ottenere metriche analoghe agenti sopra un piano con un'infinità non numerabile 

 di punti, estendere, per es., il campo B all'insieme di tutti i numeri reali e, indi- 

 cata con t una variabile, considerare tutte le funzioni di t sviluppate in serie di 

 potenze (intere o fratte) crescenti della t, e distinguere i numeri di K in reali e im- 

 maginari a seconda che sono tutti reali oppur no i coefficienti degli sviluppi corri- 

 spondenti, e ordinare infine i numeri reali di K per modo che si dica a precedere b 

 quando la differenza delle serie corrispondenti {a — b) incomincia con un termine 

 positivo negativo. 



(') Si noti cbe questo piano si dovrà però sempre supporre immerso in uno spazio di 3 dimen- 

 sioni; in esso avviene cioè che su ogni retta per un punto esiste un punto non aderente a questo, 

 ad ogni retta esiste un punto non aderente. Sia allora ahc un triangolo i cui vertici siano a due 

 a due non coerenti: sarà ahc = bac (poiché abc sì porta in bac mediante il ribaltamento intorno alla 

 congiungente c con un a/b) e non esiste nel piano alcun punto d=^a tale che abc ^ bdc. Quindi, se 

 il piano non fosse immerso in uno spazio, sarebbe a — b/c contro l'ipotesi che beo non siano 

 coerenti. Ma se il piano è immerso in uno spazio di 3 dimensioni, si potrà assumere come punto d, 

 soddisfacente alla congruenza abc = bdc, ogni punto della retta non aderente a t(6c) (t. 10 n. 12). 



