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FONDAMENTI DELLA METRICA PROIETTIVA 



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35. — Nessuna difficoltà ad estendere allo spazio le osservazioni sviluppate pel 

 piano del numero precedente. Basterà porre a fondamento della metrica, anziché la 

 conica (1) una quadrica assoluta: 



Xi ~\~ Xi -\- 3?3 — tXt 



ovvero 



xl-\- xl = t{xl + xl) 



ove t rappresenti, come prima, un elemento positivo, non quadrato e non apparte- 

 nente nè esso nè le suo potenze ad un certo campo di razionalità fondamentale R (^). 



36. Metrica parabolica. — Le precedenti considerazioni non si applicano in 

 alcun modo alla metrica parabolica. Ma per essa nulla è da aggiungere a quanto già 

 fu detto al n" 22 e all'esempio di costruzione d'una metrica parabolica piana offerta 

 al n" 32. Si otterrà una metrica parabolica nello spazio a tre dimensioni fissando 

 nello spazio projettivo un piano all'infinito e definendo nel modo noto, mediante esso, 

 le simmetrie rispetto a punti e piani. Su questo piano all'infinito dovrà all'uopo esser 

 definita una polarità assoluta in cui siano coniugati i punti e le rette all'infinito 

 di rette e piani perpendicolari. Solo si dovrà osservare che la conica fondamentale 

 di questa polarità non può contenere punti all'infinito di rette reali (metriche) perchè 

 nessuna retta appartiene ad un piano ad essa perpendicolare; ricordando che ciascuna 

 retta projettiva pei punti reali Q, Q' del n° 17 contiene una retta reale, si con- 

 clude che quella conica non può contenere nemmeno punti all'infinito di rette proiet- 

 tive ottenute per completamento dello spazio secondo il n. 19. 



Se 374 = è l'equazione del piano all'infinito, l'equazione della conica assoluta 

 sarà quindi una qualunque equazione omogenea di 2° grado nelle Xi, X2, X3 a coef- 

 ficienti appartenenti al campo di razionalità definito dai punti reali (perchè essa è 

 interamente definita dalla polarità di piani e rotte perpendicolari in una stella) 

 ma non soddisfattibile per alcun sistema di rapporti (xi : x^ : X3) appartenenti a 

 quel campo. — Tali, per es., nel campo di razionalità naturale, x\ -\- xl -{- x^ = 0, 

 2x1 — 2x1 — xl=0. 



(') Evidentemente considerazioni analoghe si possono ripetere introducendo nei coefficienti 

 maggior numero di parametri che fungano come il presente parametro t, e questo deve considerarsi 

 come il più semplice esempio di una serie. È da notarsi che, rappresentata la conica o la quadrica 

 con somme e differenze di quadrati, quadrati di segni diversi debbono avere a coefficienti parametri 

 diversi. Non potrebbe, per es., servire all'uopo la quadrica zì^-i-x^^ — x^ = txi?. Infatti essa può 

 scriversi — Xs—trf? — 3*2*, onde si vede che appartengono alla quadrica i punti di intersezione 



dei piani —=r\ -\-^^\, ~ — £l=A. {t — ri^), dove X ed n sono parametri arbitrari. Il 



^4 x^ X'^ X\ A 



X 



piano = ri può essere il piano polare di qualunque punto della retta ar, =^ r., = 0. Per ogni 



punto di questa retta passano quindi tangenti alla quadrica i cui coefficienti appai'tengono al campo 

 di razionalità dei punti metrici. 



Seiui: II. Tom. LIV. 



