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§5.-1 punti richiesti dallo spazio metrico. 



37. — Una questione s'impone dall'insieme delle cose dette innanzi: In qual 

 misura possono essere esclusi dallo spazio metrico punti dello spazio projettivo mi- 

 nimo che lo contiene ? 



È noto che lo spazio euclideo contiene tutti i punti del corrispondente spazio 

 projettivo, all'esclusione del piano all'infinito e che l'ordinario spazio ellittico con- 

 tiene tutti i punti projettivi, l'iperbolico i soli punti interni ad una quadrica. Ma il 

 sig. Dehn {^) ha mostrato che, escluso il postulato d'Archimede, assai maggiori limi- 

 tazioni si possono portare allo spazio metrico in confronto di quello projettivo, poten- 

 dosi escludere dal primo, su ogni retta, tutti i punti che, rispetto al loro ordine pro- 

 jettivo sono abbastanza avanzati. Il Dehn costruisce cioè la sua metrica piana sopra 

 un piano numerico in cui le coordinate dei punti sono funzioni analitiche (anzi una 

 classe limitata di funzioni analitiche) di un parametro t e, se a e b sono due di queste 

 funzioni, stabilisce che a>b quando a — b è positivo per valori abbastanza elevati 

 di t. Egli limita poi il suo campo metrico a punti le cui coordinate hanno rispetto 

 a t ordine d'infinità non superiore ad un certo limite (che egli fissa in due esempi 

 nei valori e — 1). 



Noi incominceremo coll'approfondire le conseguenze geometriche della definizione 

 di " punto del piano metrico ,, adottata per tal modo dal sig. Dehn. Cercheremo poi 

 di riconoscere fino a qual segno si possono invertire i risultati ottenuti : se con ciò 

 non esauriremo la questione, spero che almeno intorno ad essa porteremo un note- 

 vole lume. 



Sia ax -\- by -\- c = l'equazione d'una retta projettiva passante pel punto (a^o^o) 

 del piano metrico e sia {^o^oì una soluzione qualunque dell'equazione ai -\- bx] = ; 

 moltiplicando Eq e rio per una stessa conveniente potenza (positiva o negativa) di t, 

 sia f^, si può disporre in modo che gli ordini d'infinità di Eq^^, r|o^^ siano minori di 

 un qualsiasi ordine assegnato: dal punto (.ro//o) si deduce così il punto (a^o + ^o^^» 

 i/o -|- ^ot^) che ancora appartiene cosi alla retta data come il piano metrico. Conclu- 

 diamo: " ogni retta projettiva passante per un punto del piano metrico è sostegno 

 " di una retta di punti di esso piano „. D'altra parte è evidente che tal retta pos- 

 siede certamente punti projettivi non appartenenti al piano metrico. Ora è facile 

 rilevare che ~ almeno nei casi ellittico e parabolico — " appartengono al piano me- 

 " trico tutti i punti della retta che si deducono colle sole operazioni di projezione 

 " e sezione da due punti reali (metrici) M, N della retta e da un suo punto ideale P 

 " (a coordinate reali, ma esterno al piano metrico) e da due punti projettivi arbi- 

 ' trariamente scelti, purché allineati con uno di quei primi tre „. 



Occorre premettere che, in conseguenza del teorema di Desargues (o dell'esistenza 

 dello spazio a tre dimensioni) i punti or nominati sono completamente definiti sulla 

 retta, indipendentemente dalla scelta dei due punti projettivi ausiliari: essi sono 

 tutti quei punti cui si attribuiscono ascisse razionali (nel campo naturale di razio- 



(') Die Legendre'schen Sàtze u. die Winkelsumme im Dreiecke, " Math. Ann. 54 



