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FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 



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nalità) in un sistema di coordinate projettive in cui si assegnino ai tre punti dati i 

 numeri 0, 1, oo. 



Ora è chiaj-o che tutti questi punti apparterranno al piano metrico se tali erano 

 effettivamente le ascisse dei tre punti (supposti sull'asse della x) nella loro defini- 

 zione come elementi del piano numerico e se, per conseguenza, l'ordine in t ammesso 

 nelle coordinate dei punti del piano metrico era >0. Ma si supponga che le ascisse 

 dei tre punti M, N, P siano m, n, p e che essi appartengano alla retta ax-\-by-\-c=0. 

 Si faccia la doppia trasformazione di coordinate 



x= x' !/— l W — — 



__ (>M — n)pu + lìjn — p) , j) _ 



(/» — «)!* +{n — p) " (m — n)M4"(« — p) ' 



asse delle ascisse (m) sarà divenuta la retta ax -[- -|- c = 0, e i tre punti dati vi 

 avranno le ascisse m = 0, 1, oo. Sia ora h l'ordine massimo in t delle coordinate {x, ij) 

 dei punti reali; gli ordini di m, n saranno <h, quello di p>k. Ne segue immedia- 

 tamente che per ogni valore di u di ordine in t, x' (e quindi x) è in t d'ordine < k. 

 Quanto al valor di y, si ricordi che i nostri punti appartengono alla retta ax-\-hy^c=Q 

 onde 



(ap -\- c){m — n) u + {am -j- c){n — p) 



^ h[{in — n) M + (« — jo)] 



e si ricordi inoltre che debbono avere in t ordini < k i numeri 



ani -\- c an-\- c 



h ' '~1> ' 



valori di — ij per x = m e per x = n; è quindi pure di ordine <A; la loro differenza 



a{m — n) 

 h 



e di ordine < 2k il numero ~ , differenza dei prodotti per m e per n rispet- 

 tivamente delle prime due frazioni. 



Si vede allora che hanno ordini <k gli addendi 



a(m — n) p c{m — n) am-\-c. n — p 



b * (ìn — n)u-\-{n — p) ' h[{m — n) « (« — jo)] ' b ' (m — n)u-\r{n — p) 



di cui si compone — //, tosto che u ha valore di ordine in onde y medesimo 

 avrà in t ordine < k. 



Nel caso iperbolico una parte di questi punti può evidentemente essere esclusa 

 dal piano metrico per essere esterna alla conica assoluta. Ma, pur escludendo questo 

 caso, questi punti del piano metrico sopra definito sono tutti effettivamente richiesti 

 dai nostri postulati? Noi ci occuperemo del solo caso parabolico e mostreremo che 

 a questa domanda si deve — in tal caso — rispondere : 



" Si consideri, come poc'anzi, stabilito sulla retta un. sistema di coordinate projet- 

 " tive in cui si chiamino 0, 1 due punti reali e oo il punto aWinfinito della retta {^). 



(') Polo assoluto delle perpendicolari alla retta. 



