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BEPPO LEVI 



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" La condizione che la retta appartenga ad un piano metrico definito dai nostri 

 " postulati ha per conseguenza che appartengoìio necessariamente ad essa, come punti 

 " reali, tutti i punti razionali, fatta eccezione per quelli che sono rappresentati da fra- 

 " zioni irreduttibili il cui denominatore sia multiplo di una determinata potenza di un 

 " numero primo fisso (per tutto il piano) della forma 4n-|-3 (non somma di due quadrati). 

 " Se però uno di questi punti è reale, sono reali anche tutti gli altri „. 



Si riferisca il piano ad un sistema di coordinate projettive di cui gli assi siano 

 l'uno E la retta data, l'altro r) la perpendicolare a questa in uno dei punti reali 

 (del piano metrico) dati, cosicché a questo punto apparterranno le coordinate (0, 0). 

 All'altro punto dato sulla 5 apparterranno le coordinate (1, 0) e le coordinate (oo,0) 

 al punto all'infinito della retta. Sull'asse n si fissi poi un punto reale arbitrario che 

 si chiamerà (0, 1) e si chiami (0, oo) il punto all'infinito. Mediante determinazione di 

 punti medi e di simmetrici si costruiscano su ciascuno degli assi i punti che hanno 

 rispettivamente per ascisse e ordinate tutti i numeri interi e i fratti aventi per deno- 

 minatore una potenza di 2 ; saranno tutti punti reali del piano. 



Osserviamo che, in una geometria parabolica, la perpendicolare da un punto 

 ad una retta incontra sempre la retta medesima. Il nostro piano conterrà dunque, 

 come punti reali, tutti quelli che hanno per coordinate i detti numeri ; e reciproca- 

 mente gli assi 2, n contengono come punti reali i punti che hanno rispettivamente 

 per ascissa e per ordinata l'ascissa e l'ordinata di un qualunque punto reale [xy) 

 del piano. 



Si considerino i punti: O=(0, 0), A={a,a'), B = {0,b), K={h, fc) e siano tutti 

 punti reali del piano. Le rette x{AK), x{BK), x{OK) incontrano rispettivamente le 

 rette r], x{OA), x{AB) nei punti projettivi 



/ Q ak — a'h \ f abh a'hb \ i abh abk \ 



\ ' a — h r \ ab-]- a'h — ak ' ab + ah — ak ]'' \ bh — a'h + ai; ' bh — a'h ak I ' 



Il post. XVII impone che uno almeno di questi punti sia reale. Se ora si fa a'= 

 e h = k = a, questi punti diventano (0, oo), ^ , oj, | ^ , j. Il primo 



di questi punti non è reale: un'osservazione precedente mostra allora che sull'asse H 

 esiste, come punto reale, almeno uno dei punti di ascissa — ^^j^, , . 



^ a -\- b b — a . 



Sia w un numero intero : si ponga a = 2 , b = hn — 2 ; sarà ^ ^ ^ = 

 ab — 2(Xw 2) guii'asse E esiste allora almeno uno dei punti di ascisse -^^^"^"^^ 



b — a \m — 4 ' X.w 



2{\m — 2) 

 \ni — 4 



Dall'esistenza del punto di ascissa — — risulta ora successivamente l'esistenza 



Km 



dei punti di ascisse ^"'^^ ^ , 1 — ^ = | simmetrico del precedente rispetto al 



punto ^ j e infine ^ da cui si otterranno ancora , per successive costruzioni di 



simmetrici il punto e tutti i punti le cui ascisse sono numeri razionali di denomi- 

 natore m. 



