69 FONDAMENTI DELLA METKICA PKOJETTIVA 349 



Se invece si ne;j;a l'esistenza del punto — e quindi quella del punto ^ 



qualunque sia X, dovrà, per ogni valore di X, esistere sull'asse £ il punto di ascissa 

 ^'xH— 4^ ^ quindi, per un ragionamento identico al precedente, il punto ^ • 



Se esistono i punti y e y , con p e q primi fra loro, esiste pure il punto 

 medio fra — e — e cioè, per una conveniente scelta di a e 6, il punto . Si con- 

 elude che, se non esiste il punto , M ammette almeno un fattore ni, potenza di 

 un numero primo, e tale che non esiste il punto — - . 



'■ m 



Sia w = (|Li primo), e sia n un numero qualunque non divisibile per m; 

 potrà sempre risolversi in numeri interi l'equazione hn — vw=4, nelle incognite X e v. 



Cosi si potrà supporre che -r— ^ — r- = — . Dall' esistenza del punto di ascissa — 



segue, per successive costruzioni di simmetrici, l'esistenza del punto di ascissa — e 

 quindi di tutti i punti la cui ascissa è un numero razionale con denominatore n. 

 Se inoltre pl^ è la minima potenza di |u tale che non esiste il punto ~ , e se 



«'=)u«» (o < f, » non divisibile per )u), dall'esistenza dei punti ^ segue, come 



si disse; l'esistenza del punto — ,- — — ^ . 



^ n 11x01 



Sull'asse E esistono quindi, come punti reali, tutti i punti projettivi le cui ascisse 

 sono numeri razionali, fatta al più eccezione per quelli il cui denominatore è multiplo 

 di un numero determinato m, potenza di un numero primo. 



Possiamo aggiungere di più che. qualunque siano a ed m. se manca il punto — > 



dovrà mancare pure il punto — , da cui (e dal punto 0) quello si otterrebbe per 



successive costruzioni di simmetrici; e che, reciprocamente, se il punto — non è 



reale non potrà esserlo nemmeno il punto —, ove la frazione — sia irreduttihile.lnÌ!LÌt\. 



m ' m 



se non esiste il punto — , non esisterà nemmeno il punto X ^= ~ ^ , di cui il 



m ))i in 



primo sarebbe simmetrico rispetto al punto y (X intero). Ora possono sempre deter- 

 minarsi gli interi X e v tali che hn — = 1 {m e q sono primi fra loro) ; si può 

 quindi dire che, per un v conveniente, non esiste il punto ~, la cui esistenza se- 

 guirebbe invece dall'ipotesi che sia un punto reale. 



Se ora si ripete il ragionamento del n° 27, si vede che il gruppo dei movimenti 

 euclidei trasforma in sè ogni piano numerico le cui coordinate siano numeri razio- 

 nali aventi per denominatore numeri i cui fattori primi siano tutti somme di due 

 quadrati {^) e un sistema qualunque di ulteriori numeri primi assegnati arbitraria- 



(') Si verificherà agevolmente sull'espressione del simmetrico di un punto rispetto a una retta 

 che, al contrario, si generano per movimenti e simmetrie, punti le cui coordinate hanno per deno- 

 minatori multipli di somme qualsiansi di due quadrati. 



