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BEPPO LEVI 



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niente, e questi con esponenti non superiori ad altrettanti esponenti assegnati. Così 

 i punti le cui coordinate sono numeri razionali con denominatore multiplo di una data 

 potenza di un numero primo che non sia somma di due quadrati possono essere asse- 

 gnati al piano dal post. XVII, non mai dal postulati metrici; gli altri invece gli sono 

 imposti da questi postulati. 



Si consideri allora un triangolo qualunque A'B'O' e un punto del piano; 

 mediante movimenti si possono trasformare in un triangolo ABO e in un punto K, 

 quali quelli da cui si partì poc'anzi, per modo che sia l'origine delle coordinate 

 e B appartenga all'asse ti e, per la precedente considerazione, i punti projettivi in 

 cui s'intersecano le coppie di rette x{A'K') x{B'K'), x{B'K') x{0' A'), x[0'K') x{A'B') 

 avranno coordinate i cui denominatori non conterranno altri fattori primi che somme 

 di quadrati e altri fattori primi con esponente non superiore a quello con cui com- 

 paiono nei denominatori delle coordinate di ABKA'B'K'O' e dei punti d'intersezione 

 delle coppie x{AK)x{OB), x{BK)x{OA), x{OK)x{AB). Per accertare se sia possibile 

 un piano metrico tale che le coordinate dei suoi punti reali non abbiano mai per 

 denominatori multipli di una potenza assegnata di un numero primo |a non somma di 

 due quadrati, basterà quindi riconoscere se, tali essendo le coordinate dei punti ABK, 

 almeno una delle suddette intersezioni non abbia mai per coordinate numeri razio- 

 nali della detta forma. 



Si noti che le coordinate aa'bhk possono supporsi numeri interi: sotto altra 

 forma, se esse si moltiplicano per il loro m. c. m., per lo stesso numero si moltipli- 

 cano le coordinate delle intersezioni di cui qui si discorre, e, per una precedente 

 osservazione, le nuove coordinate rappresenteranno o non rappresenteranno punti 

 reali insieme colle primitive. 



I denominatori di queste coordinate sono, come fu trovato poco sopi'a, 



a — h, ah + a'h — ak, bh — a'h -\- ak. 



Si supponga che esse siano multiple di m, e precisamente sia la massima 

 potenza di m che è loro fattor comune. Saranno multipli di ìà'P; 



a — h {a h)h ab -(- a'h -\- ak. 



Poiché \x è primo, qp dovrà spezzarsi in due numeri positivi qp' e cp" tali che 



a -|- /i è multiplo di \xV' , h multiplo di [iSP' : a e h saranno essi stessi multipli di ili'?': 

 si ponga: 



a = a^V b = Pm?''' h — x\x'P' . 



Sarà ab multiplo di yfl' e quindi anche multiplo di fi^ a'h — ak~{ab-\-a'h — ak) — ab: 

 si ponga ancora : 



a'h — ak = y.\xV . 



Sostituendo questi valori nei numeratori delle coordinate considerate si ottiene : 



ak — a'h = — KH'P , abh = (x'?,yi\xV+<P' , abk = a3A:^<P , a'bh = a'^XiiV . 



Tutti posseggono quindi |u come fattore, almeno alla potenza qp: dopo riduzione 

 ai minimi termini, almeno una delle coppie: 



Q ak — ah ^ abh a'bh _ abh abk 



' a — h ' ab-\-ah — ak^ ab-\-a'h — «fc ' bh-\-ak — ah'' bh-\~ak~a'h 



