FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 351 



è quindi costituita da frazioni il cui denominatore non è multiplo del numero w : tale 

 coppia fornisce quindi le coordinate di un punto reale, se anche si esclude clie il 

 denominatore di tali coordinate sia multiplo di m. 



38. — Il ragionamento si estende con tutta semplicità allo spazio, ma le con- 

 clusioni sono allora ben diverse, ottenendosi allora che senza alcuna eccezione, quando 

 la retta considerata si immagina immersa iìi uno spazio metrico parabolico' soddis- 

 facente ai nostri postulati, appartengono ad essa come punti reali tutti i punti rappre- 

 sentati da numeri razionali in un sistema di coordinate projettive in cui 0, 1, oo rap- 

 presentano due suoi punti reali, e oo il suo punto all'infinito. Basterà osservare di nuovo 

 che, riferito lo spazio ad un sistema di coordinate projettive rettangolari i cui assi 

 passino pel punto indicato con e siano rette reali, le coordinate d'ogni punto reale 

 dello spazio rappresentano sugli assi punti reali. 



Se ora si ripetono nel caso dello spazio i ragionamenti del n. 27, si riconosce 

 che, per effetto dei postulati metrici (esistenza delle simmetrie), lo spazio è obbligato 

 a possedere punti le cui coordinate abbiano denominatori di cui sono fattori numeri 

 qualsiansi somme di tre quadrati primi fra loro. Si ricordi che ogni numero della 

 forma 8« + 3 è somma di tre quadrati; assegnato arbitrariamente un numero primo »«=f=2 

 è sempre possibile risolvere la congruenza m ^ 3 (mod. 8), e se Mo è una soluzione 

 tutte le altre sono della forma Mo + 8t (dove t è un intero arbitrario); fra esse non 

 ve n'è sempre di quelle non divisibili per m: sia una di queste e sia Mi=p2<j, 

 dove p2 è il massimo suo divisore quadrato; Mi^ = p^am sarà somma di tre quadrati 

 e quindi ancora om, e i tre termini di am saranno primi fra loro. Fra i punti reali 

 della retta con.siderata ne esistono dunque di tali la cui coordinata abbia per deno- 

 minatore un multiplo di am. Si confronti coll'enunciato del n- prec. e si concluderà 

 che, qualunque sia il numero primo m., non potrà essere il numero eccezionale ivi 

 nominato {^). 



§ 6. — Separazione delle metriche classiche. 



39. - Dopo aver discusso nei §§ precedenti il significato dei postulati ammessi, 

 possiamo facilmente enunciare quegli altri postulati che permettono di separare dalle 

 metriche projettive generali da essi definite, le metriche classiche: 



A) Postulato d'omogeneità — " Se a e 6 sono due rette che s'incontrino in 

 " un punto 0, esiste almeno una coppia di punti A, B, l'uno sopra una retta, l'altro 

 " sull'altra, tali che OA=OB „. 



Fra le metriche ad assoluto non degenere, questo postulato esclude quelle rispetto 

 all'esterno d'una conica, nel piano, - rispetto all'esterno d'una quadrica ellittica o 

 rispetto ad una quadrica rigata, nello spazio. - Esso non è d'altronde senza effetto 

 anche per la metrica parabolica: si è infatti osservato come la metrica parabolica 

 piana possa soddisfare a tutti i nostri postulati senza ammettere l'invertibilità del- 

 l'angolo (32). Che lo spazio non aggiunga nulla a questo proposito è evidente, appena 



(') Lo svolgimento di questa ostensione allo spazio è dovuto a mio fratello Eugenio, che nn fu 

 aiuto intelligente nella revisione delle bozze. 



