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BEPPO LEVI 



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si osservi che in infiniti modi si può disporre che sul piano all'infinito si abbia una 

 coppia di punti razionali rispetto alla quale non esistano due punti coniugati armo- 

 nici razionali, reciproci rispetto alla conica assoluta (cfr. n" 36) : tali rispetto alla 

 conica xl-\-xl + xl = i punti (1 1), (2 1). 



BJ Postulati dell'obdine. — Hanno per effetto di permettere la definizione 

 del segmento, dell'angolo, del triangolo, e di permettere in conseguenza di rispondere 

 in ogni caso alle domande circa l'intersezione di rette e di piani. Essi debbono di- 

 stinguersi in due gruppi : 



B, 1) Postulati dell'ordine sulla retta: esprimono semplicemente una proprietà 

 della retta inerente alla potenza dell'aggregato dei suoi punti: essi ci dicono che 

 tale aggregato è ordinabile e si sa che ogni aggregato avente la potenza di un 

 aggregato ordinabile è ordinabile: non è però in alcun modo assegnata la potenza 

 dell'aggregato, perchè esiste tutta una serie di potenze diverse di aggregati ordi- 

 nati 0). 



B, 2) Postulati dell'ordine nel piano e nello spazio : " Ogni retta divide il piano 

 * (ogni piano divide lo spazio) in due regioni tali che alla retta (al piano) appartiene 

 " un punto di ogni segmento i cui estremi stiano in differenti regioni ; e ogni segmento 

 " che contenga un punto della retta (o del piano) senza esservi interamente conte- 

 " nuto ha i suoi estremi in regioni differenti „ . Questi postulati invece esprimono vere 

 proprietà geometriche dello spazio considerato, che non possono introdursi per defini- 

 zione, data la potenza dell'aggregato dei punti. Basti infatti osservare che segue di 

 qui che la coppia dei coniugati armonici rispetto a due punti dati separa questi due 

 punti, e, se si considerano i gruppi armonici aa'xy, bb'xi/, cc'xy, ... e si suppone che 

 i punti abc ... xy si succedano nell'ordine scritto, i rimanenti formano con essi la suc- 

 cessione ahc ... X ... c'b'a'y; due coppie armoniche fra loro non hanno allora una coppia 

 armonica comune, proprietà che è bensì verificata nell'ordinaria retta proiettiva di 

 punti reali, ma può essere esclusa in una metrica soddisfacente ai postulati nostri, 

 la quale contenga convenienti punti immaginari (-). 



C) Postulato d'Archimede. 



ELENCO DEI POSTULATI. 



I-II. — Esiste una classe di enti — punti — costituita da piìi di un elemento, tale 

 che è definita una relazione fra coppie di punti detta congruenza (rappresentata 

 in =) (n° 1). 



III. — Da ab = ed segue ed = ab (n° 2). 



IV. — Da aò = ed segue ba = de (n° 2). 



(') Ricorderò la prima e la seconda potenza, la potenza del continuo, quella dell'aggregato delle 

 crescenze delle funzioni d'una variabile (maggiore di quella del continuo); un'antica presunzione del 

 sig. Cantor, non mai provata, ma non ancora definitivamente disdetta vorrebbe anzi che negli aggre- 

 gati ordinati si incontrassero tutte le possibili potenze. 



(^) Basterà, per es., costruire una geometria parabolica come al n. 32, scegliendo il campo di 

 razionalità in modo che contenga le ascisse dei due punti immaginari coniugati armonici comuni alle 

 due coppie. 



