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GINO FANO 



punto determinato, formano una rigata, della quale il Sig. Schumacher ha determi- 

 nato l'ordine (*). E questo ordine, per una congruenza (ni, n) di rango r (anche con 

 raggi multipli), è espresso dalla formola : 



L — 4 j 3mn — 2 (m -\- n) — 3r [. 



Per una congruenza di 3° ordine, introducendo in luogo di r la solita espres- 

 sione 2n — p — 2, si avrà dunque : 



L = 4 {n + 3p). 



Nella rigata avente l'ordine L così determinato sono però ancora compresi tutti 

 indistintamente i coni singolari della congruenza ( 2 ); indicando perciò con h l'ordine di 

 uno qualunque di questi coni, scriveremo più esattamente e prescindendo dalla con- 

 siderazione dei coni stessi: 



L = 4(^4-3/)) — Th 



dove la somma I s'intende estesa a tutti i coni singolari della congruenza ( 3 ). 



D'altra parte, nel caso di una congruenza di 3° ordine, le generatrici di questa 

 rigata (l~) di ordine L sono anche le sole rette della congruenza che incontrano la 

 curva cuspidale (t) della superficie focale, almeno fuori dei punti singolari; questa 

 rigata dovrà dunque coincidere, colle debite cautele relativamente ai coni singolari, 

 con quella che è costituita dalle rette della data congruenza che si appoggiano alla 

 curva f. Ora quest'ultima rigata, quando si indichi con R l'ordine della curva t, è 

 di ordine R (n -j- 3) ; ma da essa si staccheranno tutti quei coni singolari che hanno 

 il vertice sopra y, vale a dire quelli dal cui vertice non esce nessun raggio isolato 

 della congruenza. E precisamente ciascuno di questi coni si staccherà tante volte, 

 quanta è la multiplicità del suo vertice per la curva t ; cioè tre volte o nove volte, 



(') Mera. cit. dei Mathem. Ann., 37, p. 126. Questa rigata è chiamata dall'A. ■ die Regelfìiiche, 

 welche die Ruckkehrcurve der Brennflache trdgt „. 



( 5 ) Rappresentata infatti la congruenza con una superficie F n+3 dello spazio S 5 , la questione si 

 riduce facilmente a determinare quanti piani e 2 del sistema dei punti sulla Mf fondamentale siano 

 osculatori a una qualche curva tracciata su P in un punto di un determinato spazio S 4 , ossia della 

 curva C secondo cui tale S 4 incontra la F. (A dir vero, il sig. Schumacher ragiona sopra una F"+ 3 

 di S 4 , che è proiezione della nostra da un punto della M| fondamentale ; ma ciò non fa differenza). 

 Ora, ad ogni cono di ordine h (> 1) contenuto nella congruenza corrisponde un piano € 2 che ha a 

 comune con F una linea pure di ordine h; e questo piano può considerarsi come osculatore a tale 

 linea in ogni punto di essa, in particolare nelle sue h intersezioni colla C. Il piano stesso viene 

 dunque contato h volte nel numero che si tratta di calcolare. 



( 3 ) Una conferma di questa riduzione che bisogna far subire all'ordine L ci è data dalle con- 

 gruenze di 2° ordine. Per queste, essendo m = 2. r = n — 2, V espressione prima di L diventa 

 — 4(n-}~2). D'altra parte in una congruenza di 2° ordine la superficie focale non ha curva cuspi- 

 dale ; dunque quella rigata di ordine 4 (n + 2) deve essere tutta costituita dai coni singolari. E in- 

 fatti, per una nota formola (Sturm, Op. cit., II, p. 43, n° 314. Cfr. anche Masoni, " Rend. Acc. di 

 Napoli „, voi. 22) la somma degli ordini di tutti i coni singolari di una congruenza (2, n) priva di 

 linea singolare vale appunto 4(«-f-2). — Bisogna però avvertire che, se vi sono raggi doppi di 

 2 a specie, i coni singolari aventi i vertici sopra questi vanno computati due volte nella somma (e 

 sono i " binare Kegel „ di Sturm, Op. cit., II, p. 197, n° 402; p. 307, n° 475). Lo stesso avviene anche 

 per le congruenze di 3" ordine e per i raggi tripli di 2 a specie. 



