NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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secondo che si tratta di un cono razionale od ellittico. Infatti le tangenti alla curva 

 cuspidale r in uno qualunque di questi punti singolari sono precisamente le genera- 

 trici di regresso del cono che ivi tocca la superficie focale; e questo cono, che è 

 sempre di 3 a classe, o è razionale e di 4° ordine, e allora ha tre generatrici cuspi- 

 dali; oppure è ellittico e di 6° ordine, e allora ha nove generatrici cuspidali (^.L'or- 

 dine della rigata residua (dopo tolti questi coni, colle rispettive multiplicità) dovrà 

 ancora dividersi per tre, perchè, siccome per ogni punto di f i tre raggi della con- 

 gruenza che ne escono coincidono tutti, e coincidono con una generatrice di f", così 

 l'intersezione residua che noi avremo ottenuta sarà bensì la rigata I", ma contata 

 tre volte. — Adoperando pertanto i simboli sommatori Z x , Z 2 , ^3> Z cogli stessi signi- 

 ficati che abbiamo loro attribuiti al n° preced., potremo scrivere la relazione: 



(1) 4(n + 3p) — Z/t = -^- jR(n + 3) — 3Z 2 7t — 9Z 3 ftJ . 



E svolgendo la somma Z/t = J. x h -f- Z 2 /t -f- Z 3 /«, la stessa relazione assumerà la forma: 



(!') i(n + 3p) — Z l h = R( % +8) — 2I 3 ft (*). 



42. — Occupiamoci ora più particolarmente delle congruenze prive di raggi mul- 

 tipli. Per queste si dovrà porre (n° 35): 



R= (.-2)0.-8) +(j? + 1)(p + 2) 



e inoltre: 



Z^i = x 1 -\- 2x. 2 Z 3 /i = Sx s . 

 La relazione (1') del n° preced. assumerà dunque la forma: 



4(n+ 3^-^-2^ = *±i j (w - 2) 2 (n ~ 3) + (p+l)(p + 2) J - 6x 3 . 



E di qui, sostituendo le loro espressioni trovate al n° 39, ricaviamo: 



x 1 =^n+3p)+(n~l)(n-2)(p-2)+2(n~p-l)(p-^^ 



Se vi è dunque qualche congruenza priva ad un tempo di raggi multipli, e di fasci 

 di rette il cui centro sia punto doppio per la superficie focale, la classe « e il ge- 



(') Ed è invece di 2° ordine e 2 a classe, e perciò privo di generatrici cuspidali, per quei punti 

 singolari dai quali esce anche un raggio isolato della congruenza. — In quanto e detto di sopra, 

 il cono (di 3 a classe) tangente alla superficie focale si è supposto implicitamente irriducibile ; ma 

 se anche si spezzasse, la multiplicità di quei punti singolari per la linea f resterebbe in generale 

 la stessa. 



( 8 ) Se vi sono nella congruenza dei raggi tripli di 2 a specie, questi si possono considerare come 

 facenti parte della curva cuspidale; e occorre perciò qualche avvertenza sul modo di applicare que- 

 st'ultima formola. Si può allora designare con R l'ordine della curva cuspidale residua, astrazion 

 fatta da quei raggi tripli (cfr. n° 35); ma bisogna ricordare che i coni singolari aventi i vertici 

 sopra tali raggi non compariranno allora affatto nel secondo membro della (1), e i loro ordini 

 (opportunamente computati; cfr. la 2 B nota a questo n") dovranno perciò ancora sottrarsi dal primo 

 membro della (!'). 



