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GINO FANO 



nere sezionale p di essa dovranno annullare quest'espressione di x x . E sappiamo anche 

 (n° 37) che per queste congruenze p non può avere che uno dei valori n — 1, n — 2, 

 n 3, n — 4. Siamo dunque sicuri di poter determinare tutte queste congruenze con 

 un numero finito di operazioni. 



Eguagliamo a zero l'espressione di x u e poniamo in essa p = n — 4. Troviamo 

 così per n l'equazione: 



3» 3 — 16n 2 -+- 93rc — 222 = 



che non ha soluzioni intere e positive. Facendo poi p ='ln — 3, si trova l'equazione: 



3/i 3 — 46k 2 + 245w — 450 = 



colla soluzione n = 5, la quale richiederebbe fosse p = 2. A questa soluzione corri- 

 sponderebbe per x 3 (n° 39) il valore 3 ; si tratterebbe dunque di una congruenza (3, 5) 

 di genere sezionale 2 contenente tre coni cubici ellittici. E ciò non è possibile, poiché 

 una congruenza di genere sezionale 2 non può contenere coni ellittici (n° 65); sene 

 contenesse uno, per una retta generica uscente dal vertice di questo cono la solita 

 rigata (riducibile) R n+3 sarebbe di genere > 3, il che va escluso. 

 Anche per p = n — 2 si ha l'equazione : 



3n 3 — 44w 2 + 207w — 270 = 



priva di radici intere e positive. Infine, ponendo p = n — 1 , troviamo l'equazione : 



n 3 — Un* + 55» — 42 = 



che ha le tre radici n = 1, n = 6, n = 7. La prima di queste conduce a una con- 

 gruenza (3, 1) di genere sezionale zero, che è infatti priva tanto di raggi multipli 

 quanto di fasci di rette, ed è anzi completamente priva di punti singolari: la con- 

 gruenza duale del sistema delle corde di una cubica sghemba. Le altre due solu- 

 zioni n = 6 e n = 7 lasciano intravedere come possibili una congruenza (3, 6) di 

 genere sezionale 5, e una congruenza (3, 7) di genere sezionale 6. L'effettiva esi- 

 stenza di queste due congruenze verrà dimostrata negli ultimi due §§ di questa 

 Memoria ( 1 ). E saranno esse — possiamo già affermarlo — le sole congruenze di 3° ordine 

 prive di linea singolare e di genere sezionale > 4. 



Possiamo dunque riassumere tutti i risultati finora ottenuti nel seguente enunciato : 

 Le congruenze di rette del 3° ordine prive di linea singolare sono tutte di genere 

 sezionale < 4, fatta eccezione soltanto per: 



una congruenza (3, 6) di genere sezionale 5 ; e 

 una congruenza (3, 7) di genere sezionale 6. 



(') Nel mio lavoro: Aggiunta alla Nota: Sulle congruenze di rette del 3" ordine prive di linea sin- 

 golare, " Atti della R. Acc. di Torino „, voi. XXXI, sono incorso, a proposito della congruenza (3, 7) 

 di cui sopra, in un errore. Proiettando la superficie F 10 immagine della congruenza da una sua tri- 

 secante sopra S 3 , si ha una F 7 contenente tre rette, immagini rispett. delle tre intersezioni di F 10 

 colla trisecante considerata. E la presenza di queste rette sulla F 7 non permette di concludere, 

 come io avevo fatto al n° 6 della Nota cit., che vi è incompatibilità fra le diverse proprietà di cui 

 la F 10 , e quindi la congruenza (3, 7), supposta esistente, avrebbe dovuto godere. 



