NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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Di queste due ultime congruenze possiamo affermare sin d'ora che saranno prive 

 di raggi multipli (a meno forse di qualche raggio doppio di 2 a specie) e prive altresì 

 di punti singolari dai cui vertici escano raggi isolati della congruenza. La prima di 

 esse conterrà 10, e la seconda 20 coni cubici di genere uno. 



43. — Le considerazioni svolte in questo § si potrebbero anche sostituire in 

 parte con altre, più brevi forse , ma che condurrebbero a un risultato un po' meno 

 preciso: tale però sempre, da poter servire di base al teorema generale del pros- 

 simo §. Trattandosi di argomento piuttosto difficile, non sarà male indicare breve- 

 mente anche quest'altra via die si sarebbe potuta tenere. 



Procedendo secondo quest'altra via, si sopprimerebbero completamente i n' 36, 

 41 e 42. Cominciando col n° 37, e facendo del risultato finale di questo n° uno studio 

 più accurato, si potrebbe concludere che anche le due ipotesi p — n — 4 e p = n — 3 

 non conducono a nessuna congruenza per la quale sia p > 5. L'ipotesi p = ti — 2, 

 per p > 5, ossia n > 7, rende fratto o negativo il numero x 2 calcolato al n° 39, e 

 si deve perciò escludere. Supposto infine p = n — 1, si possono considerare le inter- 

 sezioni di tre superficie (P), di ordine r -f- 3 = n + 2, corrispondenti a punti i quali 

 siano le mutue intersezioni di tre raggi della congruenza contenuti in un piano gene- 

 rico. Queste tre superficie non possono avere che un numero finito di intersezioni; e 

 d'altra parte, considerando quelle intersezioni che cadono nello stesso piano nomi- 



numero il quale, per n > 7, supera il prodotto (n -4- 2) 3 degli ordini delle tre super- 

 ficie. Si conclude perciò che dovrà essere n<7, e p<6; sicché soltanto in quest'ul- 

 tima ipotesi (p = n — 1) il genere sezionale potrà arrivare al valore 6: negli altri 

 casi esso sarà sempre <o. 



Si avrebbe dunque il risultato (meno preciso, ma sufficiente per il seguito) : 

 " Le congruenze (3, n) prive di linea singolare sono tutte di genere sezionale < 5, 

 " fatta eccezione soltanto (eventualmente) per una congruenza (3, 7) di genere se- 

 " zionale 6 „. 



44. — Facciamo astrazione in questo momento dalla congruenza (3, 7) di genere 

 sezionale 6, e cosi pure (come sempre dal n° 21 in qua) dalla congruenza (3, 3) con- 

 tenuta in un complesso lineare. 



Per tutte le altre congruenze (3, n) prive di linea singolare noi abbiamo dimo- 

 strato che il genere sezionale p è < 5 ; e sappiamo anche che per esse è p < n — - 1 

 (n° 21). Sommando ora membro a membro le due diseguaglianze: 



coni cubici della congruenza, se ne ha un 



§ 6. 



Un teorema generale sulle congruenze (3, n). 



<5 



e 



p < n 



ricaviamo : 



2p < n + 5 



ossia: 



n + 3 > 2p — 2. 



Serie II. Tom. LI. 



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