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GINO FANO 



Queste congruenze sono dunque rappresentate in S 5 da superficie aventi le sezioni 

 iperpiane di un certo genere p e di ordine > 2p — 2. 



Ora, per un teorema gentilmente comunicatomi dal signor Castelnuovo, e dovuto 

 a lui stesso e al signor Enriques ogni superficie algebrica a sezioni di genere p e 

 di ordine > 2p — 2 è razionale o riferibile a una rigata. Dunque: 



Ogni congruenza (3, n) priva di linea singolare e non contenuta in un complesso 

 lineare — fatta eccezione eventualmente per la congruenza (3, 7) di genere sezio- 

 nale 6 — ■ si può rappresentare birazionalmente sul piano o sopra una rigata. 



Risulterà in seguito (§ 14) che la congruenza (3, 7) di genere sezionale 6 non è 

 infatti razionale nè riferibile a una rigata; e ba per immagine in S 5 una superficie 

 regolare di genere zero e bigenere uno. 



E la superficie F 6 immagine di una congruenza (3, 3) contenuta in un complesso 

 lineare non speciale è, in generale, una superficie regolare di genere uno; quindi 

 anche non razionale nè riferibile a una rigata. 



45. — Il teorema del n° prec. può completarsi, facendo vedere che, se una 

 congruenza (3, n) è riferibile a una rigata non razionale, questa rigata è certo 

 ellittica ( 2 ). 



Consideriamo infatti una congruenza (3, n) della quale si sappia che può rappre- 

 sentarsi birazionalmente sopra una rigata. Alle oo 1 generatrici di questa rigata 

 (come luoghi di punti) corrisponderanno nella congruenza altrettante serie razionali oo 1 

 di rette, ossia altrettante rigate razionali R, formanti un sistema tale che ogni retta 

 generica della congruenza appartenga a una e una sola di queste rigate. Per un 

 punto generico dello spazio passeranno dunque tre rigate R. E la superficie focale 

 della congruenza sarà l'inviluppo delle R. 



D'altra parte queste rigate, considerate come superficie dello spazio S 3 , saranno 

 contenute nel sistema lineare di tutte le superficie aventi lo stesso loro ordine ; e il 

 loro sistema oo 1 apparterrà perciò a un determinato sistema lineare di dimensione 

 minima di tali superficie. E precisamente, trattandosi di un sistema oo 1 (algebrico, 

 irriducibile) d'indice tre, questo dovrà stare in un sistema lineare di dimensione < 3 ; 

 e anzi in una rete, ogni qual volta esso non sia razionale. Di più, in questo caso 

 esso sarà certo di genere uno; e ciò è quanto si voleva dimostrare. 



Concludiamo pertanto: 



All'infuori della congruenza (3, 7) di genere sezionale 6 e della (3, 3) contenuta 

 in un complesso lineare, ogni altra congruenza di 3° ordine priva di linea singolare è 

 rappresentabile sul piano o sopra una rigata ellittica. In quest'ultimo caso, alle gene- 

 ratrici della rigata corrisponderanno nella congruenza oo 1 rigate razionali, formanti 

 un sistema co 1 d'indice tre contenuto in una rete di superficie. 



(') Cfr. una Nota dei sig." Castelnuovo e Enriques, nei * Compt. Rend. de l'Acad. d. Sciences „, 

 novembre 1900, nonché una Memoria degli stessi A. che è in corso di stampa negli " Annali di 

 Matem. „. 



( 2 ) Ciò va anche d'accordo col fatto che una rigata algebrica la quale contenga, all'infuori delle 

 generatrici, una curva (semplice) razionale od ellittica — quale potrebbe essere nel nostro caso la 

 curva corrispondente a un cono della congruenza — è anch'essa razionale od ellittica. Ma senza 

 fermarci a chiarire ulteriormente questo punto, preferiamo il ragionamento usato di sopra, il quale 

 ci preparerà anche la via pel seguito. 



