NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 43 



Io mi pi'opongo ora di dimostrare che le rigate R non possono avere curva 

 doppia. Di qui seguirà ch'esse saranno di ordine < 2, e non potranno essere perciò che 

 quadriche. 



46. — Indichiamo con | R | il sistema oo 1 delle rigate R, con Z la rete di 

 superficie contenente questo sistema oo 1 , e con S una superficie generica di questa 

 rete. Le S passanti per un punto generico dello spazio formeranno un fascio, al quale 

 apparterranno le tre R passanti per quel punto. 



Consideriamo adesso una R arbitraria, e sia R ; e, su di essa, una generatrice g 

 e un fuoco F di questa generatrice. Poiché dei tre raggi della congruenza uscenti 

 da F due coincidono con g, così delle tre rigate R passanti per F due coincide- 

 ranno con R ; e perciò il fascio delle superficie S passanti per F dovrà concepirsi 

 come tangente al sistema | R | secondo l'elemento R . In questo fascio vi sarà poi 

 un'altra R, distinta in generale da R , e che potrà considerarsi come tangenziale 

 di R (secondo l'ordinario concetto di punto tangenziale di un altro sopra una 

 cubica piana). 



D'altra parte, entro la rete 2!, il fascio tangente al sistema | R | in R è 

 unico; si deve dunque trovare sempre lo stesso fascio comunque si scelgano sopra R 

 la generatrice g e il fuoco F di questa. 



Di qui si conclude: 



La linea luogo dei fuochi delle generatrici di una rigata R (ossia la linea di con- 

 tatto di questa R colla superficie focale) appartiene per intero a una seconda R com- 

 pletamente determinata (la tangenziale della prima). E per un punto generico di questa 

 linea non potrà passare nessuna R ulteriore. 



47. — Supponiamo ora che R (ossia una R generica) abbia una curva doppia, 

 non contenuta (per il momento) nella superficie focale della congruenza. Allora 

 delle tre rette (distinte) della congruenza che passano per un punto generico di 

 questa curva doppia, due saranno generatrici di R ; dunque ancora delle tre R che 

 passano per questo punto due coincideranno con R , vale a dire il fascio delle S 

 passanti per questo punto sarà di nuovo il fascio tangente a | R | secondo R . 

 E la curva doppia di R apparterrà perciò anch'essa alla R tangenziale di R (che 

 indicheremo con Ri). 



L'intersezione di una R qualunque e della sua tangenziale è dunque riducibile, e 

 si compone di due parti affatto distinte; la linea di contatto di quella R colla superficie 

 focale, e la curva doppia della stessa R. 



Di qui si conclude facilmente che anche l'intersezione (variabile) di due R qua- 

 lunque, e perciò di due S qualunque, è una curva riducibile. Consideriamo infatti 

 insieme a R un'altra R qualunque, e sia R' ; e facciamo avvicinare indefinitamente 

 R' a R x (tangenziale di R ) entro il sistema | R | , in guisa che ogni generatrice 

 di R' e quindi ogni punto dell'intersezione R R' si muova in modo determinato. 

 Quest'intersezione tenderà a trasformarsi con continuità nell'intersezione R R x . Ora, 

 fra le intersezioni di una generatrice arbitraria g di R x con R , un certo numero k 

 (fra distinte e coincidenti) apparterranno alla superficie focale della congruenza, 

 ossia alla curva di contatto di R con questa superficie ; e un certo numero k' appar- 

 terranno invece alla curva doppia di R . Se consideriamo pertanto una generatrice 



